Infinito Ordinal Suma

Question

Cuando se trabaja con números ordinales, sería correcto decir que: $$ \sum_{i=0}^{\infty}1 = \omega$$ O simplemente no tienen sentido? En los ordinales, ¿la notación $\sum^\infty_{i=0}$ sentido o $\sum_{i=0}^\alpha$, $\alpha$ siendo un (potencial infinito) ordinal, ser la única notación correcta?

Muchas gracias.

Answer 1

Ordinal suma requiere un índice ordinal. Y $\infty$ no es un ordinal.

Aparte de eso, la suma tiene sentido en general. Si $I$ es un linealmente conjunto ordenado, y $x_i$ es un linealmente conjunto ordenado para cada una de las $i\in I$, $\sum_{i\in I}x_i$ sería el tipo de orden obtenido por la sustitución de $i$$x_i$, y teniendo en cuenta la "[algo]lexicográfica del orden" obtenidos.

Si $I$ es un ordinal y cada una de las $x_i$ es un ordinal, resulta que la suma es un ordinal así. Que es por eso que todo funciona.

Tan lejos como la notación que se va, probablemente me vaya para $\sum_{i<\alpha}$ e no $\sum_{i=1}^\alpha$. Que también le permitirá capturar esos molestos límite de los casos.

Answer 2

Tiene sentido (y es cierto), bajo las siguientes convenciones:

• Si $(x_n)_n$ es un aumento de la secuencia de los números ordinales, a continuación,$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=\bigcup_n x_n$.
• $\sum_{n=1}^\infty x_n=\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n x_n$

Como con los reales, esta notación es bastante peligroso, aunque.

EDIT: En general, se puede definir el límite de una secuencia $(x_n)_n$ como sigue. Trabajar dentro de un ordinal mayor o igual a $\bigcup_nx_n+1$, y darle la orden de la topología. A continuación, $\lim\limits_{n\to\infty} x_n$ será la topológico límite de la secuencia.