La tasa de crecimiento de los pequeños divisores de un número entero

Question

\begin{align} 1 & \times 360 \\ 2 & \times 180 \\ 3 & \times 120 \\ 4 & \times 90 \\ 5 & \times 72 \\ 6 & \times 60 \\ 8 & \times 45 \\ 9 & \times 40 \\ 10 & \times 36 \\ 12 & \times 30 \\ 15 & \times 24 \\ 18 & \times 20 \\ \uparrow \end{align}

En esta forma de listado de todos los divisores de un número, los $\le$ el cuadrado de la raíz está en la columna de la izquierda, y el más grande, ha crecido hasta el tamaño de la $18$ $12$ pasos, así, a una tasa promedio de $18/12=1.5$.

Tratando de esta con otro número, hemos

\begin{align} 1 & \times 360360 \\ 2 & \times 180180 \\ 3 & \times 120120 \\ 4 & \times 90090 \\ 5 & \times 72072 \\ 6 & \times 60060 \\ 7 & \times 51480 \\ 8 & \times 45045 \\ 9 & \times 40040 \\ 10 & \times 36036 \\ 11 & \times 32760 \\ 12 & \times 30030 \\ 13 & \times 27720 \\ & {}\; \vdots \\ 585 & \times 616 \end{align} La tasa promedio es $585/96= 6.09375$, que es mucho más pequeño que el promedio para un gran número, si no me equivoco.

Es este el promedio de la tasa de función "conocido"? Tiene propiedades interesantes? Hay teoremas de interés al respecto?

(Una curiosidad ociosa inspirado por esta página, la propuesta de un artículo de Wikipedia que no ha recibido buenas críticas.)

Answer 1

Ramanujan observó que el número de divisores de a $N$ "varía con la extrema irregularidad, tendiendo a infinito, o pequeña según la forma de $N$."

Hay un artículo$^1$ por él titulado Altamente Compuesto de Números en la que trabaja esta y otras cuestiones conexas. Él dice que la mayoría de los autores se han centrado en el orden promedio del número de divisores $d(N)$ y que Dirichlet resultó$^2$

$$\frac{d(1)+d(2)+d(3)+\cdots+d(N)}{N}=\log N + 2\gamma-1+O\left(\frac 1{\sqrt{N}}\right).$$

En lugar de Ramanujan se centra en el orden máximo de estos números y la cites Wigert$^{3}$ a los efectos de que

$$d(N)< 2^{(\log N/\log\log n)(1 + \varepsilon)} $$

Ramanujan, a continuación, muestra que

$$d(N) < 2^{\operatorname{Li}(\log n)}+ O\left(\log N e^{-\alpha \sqrt{\log\log N}}\right). $$

$^1$ Ramanujan, Altamente Compuesto de Números, collected Papers, pp 79-128.

$^2$ Citando Werke vol.2, p. 49.

$^3$ Arkiv de piel de Matematik, vol. 3, p 18.

Answer 2

Los candidatos son altamente compuesto de números, que son OEIS A002182. El número de factores a menos de $\sqrt n$ es la mitad (a menos que un cuadrado) de A002183. El mejor promedio es $4$, con factores de $1,2$ menos que o igual a $\sqrt {4}$ y una tasa de crecimiento de $2/2=1$ Hay algunos por $1$ los errores en la definición de la tasa de crecimiento en comparación a lo que uno podría esperar-el número de huecos es uno menos que el número de factores y el crecimiento podría ser uno de los menos como el menor factor de es $1$ pero he seguido sus definiciones. La próxima mínimo es de $36$, $5$ factores inferior o igual a $6$, para una tasa de crecimiento de $1.2$ La tasa de crecimiento parece a subir después de eso, así que creo que lo interesante sería ¿cuál es el valor asintótico de la inf de la tasa de crecimiento para números mayores a $n$.