La desigualdad con la condición de $x^2+y^2+z^2=3$

Question

$x,y,z \in \mathbb{R}$ $x^2+y^2+z^2=3$ , demostrar que $$ (2-x^2+x)(2-y^2+y)(2-z^2+z) \leqslant 4 +x+y+z+xyz$$

Observaciones

1. En primer lugar, creo que esta desigualdad es fácil. He aplicado AM-GM para el término $(2-x^2+x) \text{ }$,$(2-y^2+y) \text{ }$,$(2-z^2+z) \text{ }$ a continuación, intente volver a escribir la nueva desigualdad en el plazo de $u=x+y+z \text{ }$,$w=xyz \text{ }$,$\text{ } v=xy+yz+zx$. Entonces me di cuenta de que el plazo $2-x^2+x$ puede ser negativo. Así que el AM-GM enfoque fallar.
2. Yo, a continuación, tratar de homogeneizar la desigualdad, y la esperanza de que después de ampliar cada cosa. Puedo obtener algunos evidente desigualdad. Bueno, yo no homogeneizar.
3. Yo intente asumir $x\leqslant y \leqslant z$ y venir para arriba con algunas estimaciones, pero me quedo atascado.

Agradezco si alguien puede intentar resolverlo.

Answer 1

sugerencia:

$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2 \implies 3\ge x+y+z \ge -3,|xyz|^3 \le \sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}}=1 \implies -1 \le xyz \le 1 \implies RHS \ge 0$

En el Caso de LHS $<0$, la desigualdad es trivial verdadero.

tan sólo tendrá que considerar LHS$ \ge 0$

hay dos casos:

caso 1: $2-x^2+x,2-y^2+y,2-z^2+z$ todos positivos. así que usted puede usar lo que quiera.(pero no es fácil también)

case2: dos de ellos negtive, supongamos $x<-1,y<-1$, luego deje $a=-x>1,b=-y>1,2<a+b \le \sqrt{2(3-z^2)} ,ab>1,|z|<1$

luego RHS$ > f(z)>$LHS,tratando de encontrar la $f(z)$

otro enfoque es el de ampliar la PREPA y reemplazar con $uvw$ a ambos lados, entonces usted tendrá que demostrar la $f(w) \ge 0 \implies \Delta \le 0$,$u^2-2v=3,|v|\le 3,|u|\le 3$, usted debería ser capaz de obtener $\Delta \le 0$