¿Existe un concepto de la fracción de la composición de funciones? Continua o funciones diferenciables?
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Yves Daoust
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Sí, la fracción de la función de iteración se define.
Como funciona para los naturales de la iteración
$$f^{(n)}(x):=f(f(\cdots f(x)\cdots)),$$
y (negativo) enteros iteración
$$f^{-n}(x):=(f^{-1})^{(n)}(x)$$
se puede generalizar a los racionales con la ecuación funcional
$$g(x):=f^{(n/m)}(x)\iff g^{(m)}(x)=f^{(n)}(x).$$
Por ejemplo, el proceso iterativo de la raíz cuadrada se define como
$$g(x):=f^{1/2}(x)\iff g(g(x))=f(x).$$
En el caso de la identidad de la función, se obtiene el llamado Babbage ecuación,
$$g(g(x))=x.$$
Una solución particular es $g(x)=-x$, y como se puede comprobar, más soluciones se encuentran como
$$g(x)=h^{-1}(-h(x))$$ where $h$ es arbitraria invertible función.
Por ejemplo, con $h(x)=\ln(x+1)$,
$$g(x)=\exp(-\ln(x+1))-1=-\frac x{x+1}.$$
Así que esto de la raíz cuadrada no es el único.
Si $f(x)=x^r$ es una ley de potencia, el $n^{th}$ iterar es$((x^r)^{r\cdots})^r=x^{r^n}$, de modo que una solución particular de
$$g^{(m)}(x)=(x^r)^{(n)}$$ es otra ley de potencia
$$g(x)=x^s$$ with $s^m=r^n$, or $s=r^{n/m}$.
$$(x^r)^{(q)}=x^{r^q}.$$
Como otro ejemplo, la iteración de una ley lineal da
$$(ax+b)^{(n)}=a(\cdots a(ax+b)+b\cdots)+b=a^nx+\frac{a^n-1}{a-1}b,$ $ , de modo que una fracción recorrer también puede ser lineal
$$(ax+b)^{(n/m)}=g(x)=Ax+B$$ con
$$A^m=a^n,\frac{A^m-1}{A-1}B=\frac{a^n-1}{a-1}b$$
o
$$A=a^{n/m},B=b\frac{a^n-1}{a-1}\frac{A-1}{A^m-1}=\frac{a^{n/m}-1}{a-1}.$$
$$(ax+b)^{(q)}=a^qx+\frac{a^q-1}{a-1}b.$$
