$$ \lim_{\theta\to0} \theta^{\frac1x -1} \tan(\theta^{\frac1x}) \;\;\;\;\; (x > 1) $$
He tratado de L'Hôpital de la regla con $\theta$ en el denominador, pero las sucesivas aplicaciones parece que sólo conducen a expresiones más complejas. Curiosamente, parece que cada aplicación de la regla de L'Hôpital producirá otro límite a la que L'Hôpital es aplicable.
Puedo utilizar este hecho de alguna manera a analíticamente evaluar el límite?
No es necesario, pero me parece más fácil las cosas para ver si me deje $w=\theta^{1/x}$. A continuación,$\theta=w^x$, y terminamos mirando a $w^{1-x}\tan w$.
Queremos encontrar $$\lim_{w\to 0^+} w^{1-x}\tan w.$$ Reescribir esto como $$\lim_{w\to 0^+} w^{2-x} \frac{\tan w}{w}.$$ Ahora las cosas, es probable que sea claro. La respuesta es $x$-dependiente.
Comentario: en su lugar, podríamos escribir de inmediato que nuestra función es $$\theta^{\frac{2}{x}-1} \frac{\tan(\theta^{\frac{1}{x}})}{\theta^{\frac{1}{x}}},$$ y proceder de inmediato a la conclusión. Sin embargo, creo que el anteproyecto de la "limpieza" de la respuesta ayuda a ver las cosas más claramente.
Lo primero es darse cuenta de que este límite no existe. Eso es debido a que $\theta \to 0$ permite valores negativos de $\theta.$ Por ejemplo $\theta,$ $\theta^{1/x}$ no está definido para la mayoría de los valores de $x.$, por Lo que debemos cambiar para que la señal de límite de a $\lim_{\theta \to 0^+}.$
Que de la forma, la nota de la expresión es igual a
$$\tag 1 \theta^{(2/x)-1}\frac{\tan \theta^{1/x}}{\theta^{1/x}}.$$
Como $\theta \to 0^+, \theta^{1/x}\to 0.$ Recordando $\lim_{u\to 0} (\tan u)/u = 1,$ (esto se deduce de la $(\sin u)/u \to 1$), vemos que la fracción en $(1)$ $\to 1$ como $\theta\to 0^+.$, por Lo que no tenemos que preocuparnos por ello.
Nos quedamos pensando en $\theta^{(2/x)-1}.$ Este sopla si $(2/x)-1< 0,$ es idéntica $1$ si $(2/x)-1 = 0,$ $\to 0$ si $(2/x)-1>0.$, con Lo que el límite de en $(1)$ no existe si $x>2,$ es igual a $1$ si $x=2,$ y es igual a $0$ si $1<x<2.$
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