La parte real de la $z^n$

Question

Demostrar que $${\displaystyle\lim \limits_{n \to +\infty}{|r^ncos(nθ)|}}=+\infty,$$

donde $n$ es un entero, $r>1$, $θ/π$ es irracional.

Tengo este problema, de aquí a$1+x+\ldots+x^n$ cuadrado perfecto , creo que es cierto para la situación general.

PS: El problema original es probar $${\displaystyle\lim \limits_{n \to +\infty}{|z^n+\overline{z}^n|}}=+\infty,$$ donde $n$ es un entero, $z=x+yi,\overline{z}=x-yi,x>y>0,x^2+y^2>1,i=\sqrt{-1}.$

Pero de acuerdo a la respuesta dada por @mrf, esto no es cierto cuando se $y/x=tan(π/8)$,así que añadir la condición de que $θ/π$ es irracional.

Gracias de antemano!

Answer 1

La afirmación puede ser falsa, incluso cuando usted asume la $\frac{\theta}{\pi}$ es irracional.

Deje $(s_k)_{k=1,2\ldots}$ ser la secuencia definida recursivamente por:

$$s_k = \begin{cases}1,&\quad\text{ for }k = 1\\2^{s_{k-1}},&\quad\text{ for }k > 1\end{cases}$$

y $s$ el número de Liouville $s = \sum_{k=1}^{\infty} 2^{-s_k}$. Para $r = \sqrt{2}$, e $\theta = s\frac{\pi}{2}$, tenemos:

$$\begin{align}r^{2^{s_m}} |\cos( 2^{s_m} \theta )| = & 2^{(2^{s_m}/2)} \left|\cos\left(\frac{\pi}{2}(1 + \sum_{k=m+1}^{\infty} 2^{s_m-s_{k}})\right)\right|\\ \sim & \frac{\pi}{2}2^{(2^{s_m}/2) + s_m - s_{m+1}}\\ = & \frac{\pi}{2}2^{s_m - (s_{m+1}/2)} \end{align}$$

Como esta converge a $0$ $m \to \infty$, $r^{n} |\cos(n\theta)|$ tiene un sub-secuencia que converge a$0$, con lo cual no difiere de a $\infty$.

Answer 2

El uso de la representación polar de $z$, $z = re^{i\theta}$. Por la hipótesis, $r > 1$$0 < \theta < \pi/4$.

Computación, consigue $z^n = r^n e^{in\theta}$$\bar z^n = r^n e^{-in\theta}$, por lo que $$ z^n + \bar z^n = r^n \big( e^{in\theta} + e^{-in\theta} \big) = 2 r^n \cos(n\theta).$$

Aquí se puede ver que hay algo mal con su (supuesta) conclusión. Tomemos, por ejemplo,$z = 2e^{i\pi/8}$, $z^n + \bar z^n = 0$ si $n = 8k+4$$k\in\mathbb{Z}$.