Si conociéramos la serie Taylor de $f(x)$ ¿es posible obtener series Taylor de $f^{-1}(x)$ ?

Question

Si conociéramos la serie Taylor de $f(x)$ ¿es posible obtener series Taylor de $f^{-1}(x)$ ?

Supongamos,

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$$

Entonces

$$f^{-1}(x)=?$$

Si es posible, ¿cómo se consigue?

Lo más fácil sería ampliar en $x=a_0$

Answer 1

Lo que queremos son todas las posibles derivadas de $f^{-1}$ en $x = a_0$ . Podemos obtener los de usar ese $f(f^{-1}(x)) = x$ y utilizando la regla de la cadena. En primer lugar, el término constante es claramente $0$ ya que $f^{-1}(a_0) = 0$ . Diferenciando una vez, obtenemos $$ [f(f^{-1}(x))]' = [x]'\\ {f^{-1}}'(x)f'(f^{-1}(x)) = 1\\ {f^{-1}}'(a_0)f'(f^{-1}(a_0)) = 1\\ {f^{-1}}'(a_0) = \frac1{f'(0)} = \frac1{a_1} $$ Para el segundo término, volvemos a diferenciar: $$ [{f^{-1}}'(x)f'(f^{-1}(x))]' = [1]'\\ {f^{-1}}''(x)f'(f^{-1}(x)) + ({f^{-1}}'(x))^2f''(f^{-1}(x)) = 0\\ {f^{-1}}''(a_0)f'(f^{-1}(a_0)) + ({f^{-1}}'(a_0))^2f''(f^{-1}(a_0)) = 0\\ {f^{-1}}''(a_0) = -\frac{\frac{1}{a_1^2}\cdot 2a_2}{a_1} = -\frac{2a_2}{a_1^3} $$ y podemos seguir, al menos en teoría, consiguiendo $$ f^{-1}(x) = \frac1{a_1}(x-a_0) - \frac{a_2}{a_1^3}(x-a_0)^2 + \cdots $$

Así pues, suponiendo que exista la serie de Taylor para la inversa (que hasta ahora equivale a $a_1\neq 0$ y puesto que ${f^{-1}}^{(n)}(x)$ en el $n$ La diferenciación 'th siempre aparece sólo junto con $f'(f^{-1}(x))$ como factor, $a_1 = 0$ me parece lo único que podría salir mal), hay al menos una forma de encontrar todos los coeficientes. Estoy seguro de que hay maneras más eficientes, o que alguien más ha encontrado una forma general para estos términos (o por lo menos llevado este cálculo más allá del segundo grado).

Answer 2

Sea $f(x)=x^3$ entonces la serie de Taylor de $f$ en torno a $x_=0$ es

$f(x)=0+0 \cdot x+0 \cdot x^2+1 \cdot x^3+0 \cdot x^4 +....$ .

Pero $f^{-1}$ no es diferenciable en $x_0=0$ por lo que la serie de Taylor de $f^{-1}$ no existe.

Answer 3

Sea la expansión de Taylor de $f$ cerca de $a\in R$ es decir $$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_{n+1}(x)$$ A continuación, encontremos $f^{-1}(x)$ para hacerlo recll teorema multinomial para el caso $n=-1$ , $$f^{-1}(x)=\left(f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_{n+1}(x)\right)^{-1}$$ Cómo utilizar el teorema multinomial en exponentes negativos es shonw en este debate El artículo de Wikipaedia es aquí