Interpretación física de la norma de Lebesgue $L^p$

Question

Quiero saber exactamente qué $L^p$ representar real y físicamente. Sé que $L^p$ La norma de una función es un intento de medir su anchura y su altura, pero lo que distingue a las normas de Lebesgue de $C^m$ por ejemplo, o cualquier otra norma de espacios funcionales?

Answer 1

El $L^p$ Las normas son una forma de medir la "energía" de una función. Las más importantes para empezar son el caso en el que $p=1, p=2, p=\infty$ .

En general, las normas son formas de medir de alguna manera la "longitud" de algún elemento de un espacio vectorial.

para $p=1$ la definición es el área bajo $|f|$ debe ser finito. Esto puede llevar a algunos casos interesantes.

Consideremos la función de Dirichlet $D(x)$ que es $1$ en los racionales y $0$ a los irracionales. $||f||_{L^1([0,1])}=0$ Así, a pesar de que esta función no es continua en ninguna parte, tenemos una idea de la cantidad de "área" que hay bajo el gráfico. En este caso $0$ porque la "mayoría" de los puntos son $0$ .

Intuitivamente, el $L^1$ mide el grado de "espinosidad" de una función. El $L^{\infty}$ mide la "amplitud" de una función, y $L^2$ es en cierto sentido un promedio de la altura y la anchura, el $L^p$ espacios con $2<p<\infty$ están cada vez más "sesgados" a lo "ancho" $f$ es.

¿Cómo son los $L^p$ normas diferentes de $C^m$ normas :

De muchas maneras. Una propiedad deseable de los espacios de funciones es que el espacio sea "completo" con respecto a la norma. Los espacios completos normados son tan útiles que tienen su propio nombre: espacios de Banach, y son los principales objetos de estudio del análisis funcional.

Funciones que son $C^{\infty}$ (es decir, suave) tienen derivadas de todos los órdenes, y en particular, son $m$ veces diferenciable. Resulta que $C^{\infty}$ no es sólo un subconjunto de $L^p$ pero también denso en él (excepto en el caso de $p=\infty$ ). El $C^m$ son delicados en lo que respecta a la completitud bajo varias normas, por lo que como espacio de funciones "principal", tienen algunos problemas. Por ello, es mejor considerarlos como subespacios densos de $L^p$ .

¿Por qué es útil considerarlos como subespacios densos? He aquí dos razones fundamentales:

$1$ . Subespacios cerrados de espacios métricos completos (los espacios normados son siempre espacios métricos tomando la métrica como $d(x,y)=||x-y||$ ) también están completos. Dado que $C^m$ es cerrado, se deduce que es completo bajo la $L^p$ norma.

Realmente lo que estamos haciendo es que todas las buenas propiedades de las funciones continuas como colección de objetos se estudian mejor cuando se ven como un subespacio de $L^p$ .

$2$ . En la teoría moderna de la EDP, los espacios de funciones que se utilizan son los espacios de Sobolev $W^{k,p}$ donde $k$ denota el $k-th$ derivada débil y $p$ es el correspondiente $L^p$ norma.

Idealmente, al estudiar las EDP, queremos soluciones fuertes (soluciones que son $C^{\infty}$ ), pero esto es una ilusión, y en muchos casos, encontrar soluciones sólidas es extremadamente difícil. Por ello, se introdujo el concepto de "derivada débil". Como era de esperar, si una función tiene una derivada fuerte, tiene una derivada débil. Esto permite crear una formulación débil para $PDE$ donde la EDP tiene solución si consideramos las derivadas débiles en lugar de las fuertes.

Si intentamos utilizar $C^m$ para estudiar $PDEs$ no podríamos encontrar soluciones débiles para $PDEs$ que es la piedra angular de la teoría moderna. Además, los espacios de Sobolev $W^{k,p}$ tener en cuenta ambos la norma (a menudo interpretada como energía, como he mencionado en la primera frase) y la derivada débil.

el $C^m$ bajo varias normas son muy restrictivos en comparación con los espacios de Sobolev en PDE, e incluso sólo regulares $L^p$ espacios.

Conclusión

El $C^m$ son significativamente menos útiles para las personas que estudian las EDP, pero incluso en el análisis, muchas nociones como "casi en todas partes" continuo o diferenciable no tienen sentido en el $C^m$ espacios bajo cualquier norma, incluso bajo normas que hacen $C^m$ completa. Los espacios de Sobolev permiten medir la energía de una función y las propiedades de suavidad/diferenciabilidad en un entorno más general al permitir nociones de diferenciabilidad "débil", que no tienen sentido sin la noción de "casi en todas partes".

Se puede decir mucho más, pero espero que esto dé alguna intuición.

Answer 2

Mi sensación es la más "física" $L^{p}$ los espacios son $L^{1}$ , $L^{2}$ y $L^{\infty}$ . No dudo que haya casos en los que $L^{p}$ (con $p \notin \{1,2,\infty\}$ ) surge en la física por sí sola (por ejemplo, probablemente haya una aplicación en la que exista una cantidad de "energía" de la forma $\int_{X} |f(x)|^{p} \, \mu(dx)$ para algunos $p \notin \{1,2,\infty\}$ ), pero creo que a menudo, cuando se utiliza en matemáticas, es por el bien de la generalidad o porque se pueden obtener mejores resultados (por ejemplo, asumiendo $p > 1$ ).

El $L^{1}$ La norma mide la "masa". Surge de forma natural en los casos en los que la función $f$ representa una densidad de partículas o una densidad de probabilidad, en cuyo caso $f \geq 0$ y el $L^{1}$ -norma se reduce a la masa total. Si $f,g$ son dos densidades de partículas o de probabilidad, entonces suele ser útil estudiar $\|f - g\|_{L^{1}}$ que puede entenderse como una indicación de cuánto difiere la disposición de la "masa". Por ejemplo, si las partículas de $f$ y $g$ se concentran mayoritariamente en conjuntos disjuntos, entonces $\|f - g\|_{L^{1}}$ será grande. Por otro lado, $\|f - g\|_{L^{1}}$ es pequeño si las partículas descritas por $f$ y $g$ están casi siempre en el mismo lugar. (De forma más general, la norma de variación total de las medidas nos dice lo mismo. Obsérvese que la $L^{1}$ coincide con la norma de variación total de las medidas "absolutamente continuas", si estás familiarizado con el concepto, así que esto no es una coincidencia).

El $L^{\infty}$ La norma mide literalmente lo grande que es una función (según la medida de referencia --- recuerde $L^{p}$ los espacios son relativos a alguna medida fija). No recuerdo la última vez que me encontré con un buen ejemplo "físico" para la $L^{\infty}$ norma. Mi intuición es que mide lo absolutamente cercanas que están las funciones. Piensa en dos curvas que nunca se acercan más de $\delta$ aparte: estos están cerca en $L^{\infty}$ . Por otro lado, si se tienen dos curvas cuyas trayectorias divergen mucho, se espera que el $L^{\infty}$ norma de su diferencia para ser grande.

El $L^{2}$ es la norma de la "energía". A veces, en física, una cantidad como $\int_{X} |f(x)|^{2} \, \mu(dx)$ aparece como un término energético: pensemos en la energía electrostática en la electrostática o en la energía cinética en la mecánica cuántica. Desde un punto de vista matemático, puede resultar natural considerar entonces los productos internos $\int_{X} f(x) g(x) \, \mu(dx)$ ya que la energía es una forma cuadrática: si se quiere minimizar la $L^{2}$ norma sujeta en algún subespacio de $L^{2}$ entonces esto a veces se reduce a $f$ con una cierta propiedad de ortogonalidad. En las aplicaciones (por ejemplo, el procesamiento de señales), $\int_{X} f(x) g(x) \, \mu(dx)$ se interpreta a veces como la correlación entre $f$ y $g$ . ( $f$ y $g$ tienden a ser muy similares, es muy negativo cuando $f$ y $-g$ son muy similares, y es muy pequeño cuando $f$ y $g$ son totalmente diferentes). Esta puede ser una forma muy tentadora de estudiar las señales si se tiene en cuenta la relación de Parseval en los espacios de Hilbert y la bonita relación de la transformada de Fourier con $L^{2}$ . Del mismo modo, la correlación aparece en la mecánica cuántica, donde $\int_{X} f(x) g(x) \, \mu(dx)$ de nuevo te dice lo similares que son los estados $f$ y $g$ son. Cuando $g$ es un estado propio de un observable, dice cuánto $f$ parece $g$ en lugar de algún otro estado propio y el cuadrado de la correlación incluso te dice la probabilidad de que $f$ resultará ser el estado propio $g$ .

No pienso en el $C^{m}$ normas como normas físicas. ¿Qué hacen? Son $L^{\infty}$ normas para funciones suaves, y hacen más que el $L^{\infty}$ norma en la medida en que piden que la función y sus derivadas se acercan a alguna otra función. En este sentido, son más geométricas y no es de extrañar que no tengan más recorrido en la EDP. Dos funciones suaves pueden ser cercanas en $L^{\infty}$ aunque una de ellas tenga toneladas de pequeñas oscilaciones: piensa en la función cero y compárala con la función $t \mapsto \delta \sin(\delta^{-1} t)$ para los pequeños $\delta > 0$ .) Esto ya no es cierto si están cerca en $C^{1}$ . No tengo una gran intuición para la curvatura, así que no intentaré explicar la diferencia entre $C^{1}$ y $C^{2}$ o cualquiera de los más altos $m$ para el caso.