¿Qué tiene de especial la indistinguibilidad de Boson y Fermions?

Question

En el tratamiento de Bosonic o Fermionic sistemas que yo estoy familiarizado con, usted comienza con un estado que contiene al menos dos partículas:

$$ \left| a_{i}, a_{j} \right\rangle $$

Y definir una permutación operador, que cambia su lugar. Cuando se aplica dos veces a cualquier estado, recibes el mismo estado.

$$ P_{ij}P_{ij}\left| a_{i}, a_{j} \right\rangle = P_{ij}\left |a_{j},a_{i} \right\rangle =\left | a_{i}, a_{j} \right\rangle $$

Entonces se argumentó que, dado que las partículas elementales son indistinguibles de los demás, compuesta de estados debe ser autoestados de este operador, y la condición anterior, se restringe la autovalores a ser $1$ o $-1$, que corresponde a totalmente simétrica y antisimétrica de los estados, lo que nos da Bosones y Fermiones.

Lo que yo estoy teniendo un tiempo difícil de ver es cómo esto conduce a tales drásticamente diferente comportamiento a bajas temperaturas. Si tuviéramos un sistema de partículas que eran casi idénticos, pero difieren por algún azar de la masa $\delta m$ digamos, ¿cómo sería nuestra función de partición de look? Hemos de recuperar Bose-Einstein o de Fermi-Dirac estadísticas en el límite de $\delta m \rightarrow 0$ de manera fluida?

Answer 1

Teniendo en cuenta lo que sucede a la función de partición en el $\delta m \rightarrow 0$ límite no es realmente una pregunta sensata para fermiones y bosones, porque "casi idénticos" es casi un quantum oxímoron. No hay liso $\delta m \rightarrow 0$ límite de la mecánica cuántica que puede convertir a los no-idéntico partículas idénticas en partículas. Si todas sus otras propiedades intrínsecas son las mismas, no son idénticos si $|\delta m| > 0$, pero son idénticos si $\delta m = 0$. La transición entre los dos es discontinuo. Este binario diferencia entre idénticos y no idénticos partículas es fundamental en la mecánica cuántica, como es discutido en la respuesta a Casi idénticos fermiones luchando por el mismo estado.

Me parece útil pensar acerca de cómo dos partículas pueden diferir en la mecánica cuántica, y cómo la masa de las diferencias siempre están asociados con diferentes números cuánticos. Si dos partículas $A$ $B$ son idénticas, excepto que el resto de sus masas son diferentes, entonces $A$ $B$ puede simplemente ser consideradas diferentes estados de la misma partícula, ya que no hay nada para prevenir $B\leftrightarrow A$ transiciones (por ejemplo, por caries o de colisión o de la mezcla). En cualquier teoría cuántica describiendo $A$$B$, esto significa que el estado $B$ debe tener al menos un número cuántico cuyo valor difiere de estado a $A$, por lo que no son idénticos "partículas" no importa cuán pequeño $\delta m$ es.

Por ejemplo, $A$ $B$ podría ser átomos de hidrógeno en su $1S$ $2S$ estados. No es sólo su pequeña diferencia de masa ($\sim0.000001\%$) que hace que el $1S$ $2S$ átomos distinguibles, pero que su principio de números cuánticos $(n=1,2)$ difieren por $1$, correspondiente a los internos diferentes estados cuánticos y las funciones de onda. Incluso si el electrón era mucho más ligero, por lo que la diferencia de masa entre los dos de hidrógeno, unidos mucho más pequeño, su principio cuántico números todavía se diferencian por $\Delta n = 1$.

O tener en cuenta el $1S$ de hidrógeno $F=0,1$ hiperfina de los estados que difieren en su masa por menos de $0.0000000000001\%$. De nuevo la diferencia de masa es pequeña, pero su momento angular se diferencia por $\Delta F = 1$, dependiendo de si el electrón y el protón tiradas son paralelos o antiparalelos.

En un sistema cuántico, por lo demás idéntico partículas cuánticas no sólo difieren en masa. Cualquier diferencia de masa se asocia con una diferencia en su intrínseca cuántica propiedades que los hacen no son idénticos, no importa cuán pequeña sea la diferencia de masa es. La transición de la no-idéntico idéntico partículas requiere cambiar el estado cuántico de las partículas, lo que provoca que los cambios dramáticos en la función de partición.

Answer 2

Dos fermiones no pueden ir en el mismo estado porque el operador de permutación multiplica el estado por -1, pero también da el mismo estado, porque las partículas son idénticas. Lo único igual a su negativo es cero.