Necesita mostrar que$\int_a ^b f(x)g(x)dx=0 \implies f\equiv 0$

Question

La siguiente pregunta es inspirado por este .

Suponga $f$ es continua en a $[a,b]$ $\int_a ^b f(x)g(x)dx=0 $ cada función de $g$ posesión continua de derivados que $g(a)=g(b)=0$. Es cierto que $f\equiv 0$ en el intervalo de $[a,b]$?

La sugerencia que me dieron es para cocinar una función suave con soporte compacto de $e^{-1/x^2}$. Versión ampliada de la sugerencia fue este: set $f(x)=e^{-1/x^2}$ $x$ positiva y $f(x)=0$ $x$ no positivos y considerar la posibilidad de $\int_0^xf(t)f(1-t)dt$.

No tengo idea de qué hay detrás de esta pista (es decir, ¿cómo podría uno llegar a un proceso integral) y no sabes cómo utilizar la pista.

Answer 1

La función de $h(x) = f(x) f(1-x) $ ve un poco como un revés de la bañera: 0$x \le 0$$x \ge 1$, pero distinto de cero (de hecho, positivo) por $0 < x < 1$.

Para cualquier intervalo de $[p, q]$, la función de $h_{p, q} (x) = f(\frac{x-p}{q-p})$ es similar: es distinto de cero en el interior del intervalo, cero fuera de ella.

Si la escala es una constante, se puede arreglar ese $\int_p^q h_{p,q}(x) = 1$.

Te gustaría mostrar que para cualquier $c$ en $[a, b]$, $f(c) = 0$.

Supongo que no .. supongamos que $f(c) = A > 0$. Luego hay un intervalo de $[p, q]$, conteniendo $c$, de hecho, con $a < p < c < q< b$ que $f(x) \ge A/2$. (Por qué?)

Que le dice que $$ \int_a^b f(t) h_{p,q}(t)~dt = \int_p^p f(t) h_{p,q}(t) dt \ge \int_p^q \frac{A}{2} h_{p, q}(t) ~ dt. $$ ¿Qué se puede decir acerca de que la última integral? ¿Cómo se relaciona con la afirmación acerca de $f$ y "cualquier $g$"?

Answer 2

Supongamos que$f(y) \neq 0$ para algunos$y \in [a,b]$, sin pérdida de generalidad,$f(y) > 0$. Luego, para algunos$\delta > 0$,$f(x) > 0$ para$x \in (y-\delta, y+\delta)$, y supongamos que$\delta$ es tal que este intervalo aún está contenido en$[a,b]$ (si no, somos libres) para hacerlo más pequeño).

Deje$G(x) = \exp\left( \frac{1}{1-x^2} \right)$ para$x \in (-1,1)$ y$G(x)=0$ para$|x| > 1$. Entonces hacemos$g(x) = G(\frac{x-y}{\delta})$. Ahora tenemos una función compacta compatible$g$ cuyo soporte es exactamente$(y-\delta, y+\delta)$, y$g$ es estrictamente positivo en$(y-\delta, y+\delta)$.

¿Qué podemos decir sobre$$\int_a^b f(x)g(x) dx = \int_{y-\delta}^{y+\delta} f(x)g(x) dx?$ $