¿Existe una clasificación simple de los campos vectoriales$\mathbf{F}$ en$\mathbb{R}^3$ que satisfacen$\mathbf{F}\cdot \nabla\times\mathbf{F}=0$?

Question

En el cálculo multivariable, una regla mnemotécnica para recordar a $\text{div}(\text{curl}(\mathbf{F}))=0$ para campos vectoriales $\mathbf{F}$ $\mathbb{R}^3$ es el tratamiento de la gradiente de operador $\nabla=\langle\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\rangle$ como un vector, la escritura

$$\text{div}(\text{curl}(\mathbf{F}))=\nabla\cdot\nabla\times \mathbf{F},$$

y usando el hecho de que para cualquier vectores $\textbf{u},\textbf{v}\in\mathbb{R}^3$, no tiene $\textbf{u}\cdot \textbf{u}\times\textbf{v}=0.$

Existe una clasificación simple de los campos vectoriales $\mathbf{F}$ $\mathbb{R}^3$ que satisfacer $\mathbf{F}\cdot \nabla\times\mathbf{F}=0$?

Un ejemplo trivial de un campo vectorial es cualquier $\mathbf{F}(x,y)=\langle P(x,y), Q(x,y), 0\rangle$. Esto conduce a una menor pregunta general: ¿hay campos vectoriales en $\mathbb{R}^3$ no contenida en un plano para que la ecuación anterior se mantiene? ¿Esta ecuación tiene especial significado físico?

Gracias.

Answer 1

Es útil para traducir esta pregunta en la notación de las formas diferenciales. Si el campo vectorial $\mathbf F$ corresponde a la $1$forma $F_1\,dx + F_2\,dy + F_3\,dz$, $\text{curl}\,\mathbf F$ corresponde a la $2$forma $d\omega$ y el producto escalar de a $\mathbf F\cdot \text{curl}\,\mathbf F$ es el coeficiente de la $3$forma $\omega\wedge d\omega$. Así que le estamos pidiendo al $\omega\wedge d\omega = 0$.

Esta es precisamente la condición de integrabilidad de los dos planos dados por $\omega=0$ (es decir, los dos planos ortogonales a $\mathbf F$) para tener todas partes integrable submanifolds. Es decir, $\Bbb R^3$ es foliada por superficies con vector normal $\mathbf F$. [Por supuesto, estoy asumiendo $\mathbf F$ está en ninguna parte de cero.] Más analíticamente, puede cambiar la escala de $\mathbf F$ por una suave (nada de cero) la función para que sea conservador.