Teoría de la integración del ejercicio Bauer: espacio de medida finito

Question

Permita que$(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ sea un espacio de medida con finito$\mu$. Permita que$f,f_n:\Omega \to \overline{\mathbb{R}}$ sea$\mathcal{A}-$ función medible$(n \in \mathbb{N})$. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Por cada$\varepsilon >0$,

ps

(2) Por cada$$lim_{n \to \infty} \mu (\bigcup_{m \geq n} x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon))=0$ existe$\delta >0$ con$A_{\delta} \in \mathcal{A}$, de manera que por cada$\mu(a_{\delta}) < \delta$ sale$\varepsilon>0$, de manera que$N_{\varepsilon} \in \mathbb{N}$ $ para todos$$f_n(x) \leq f(x) + \varepsilon$ y$x\in \Omega-A_{\delta}$.

Tal vez parezca una pregunta fácil, pero no sé cómo comenzar a hacerlo. alguien puede ayudar? muchas gracias.

Answer 1

Supongamos $(1)$ es verdad y deje $\delta>0$. Elegir un número entero $N$ lo suficientemente grande como para que

$$\mu (\bigcup_{m \geq N} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon)) \right \})<\delta.$$

Entonces, desde

$\Omega \setminus \bigcap_m\bigcup_{m \geq N} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon)) \right \}=(\bigcap_m\bigcup_{m \geq N} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon)) \right \})^c=\bigcup_m(\bigcup_{m \geq N} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon)) \right \})^c=\bigcup_m\bigcap_{m \geq N} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) \le f(x)+ \varepsilon) \right \},$

de ello se sigue que, si tomamos

$$A_{\delta }= \bigcap_m\bigcup_{m \geq N} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon)) \right \},$$

entonces

$$x\in \Omega\setminus A_{\delta }\Rightarrow \exists m_1 \ge N\ \text {such that}\ \forall m\ge m_1,\ f_m(x)\le f(x)+\epsilon.$$

Si $(2)$ es cierto, entonces tome $\delta_n=1/n, $, de modo que hay conjuntos de $A_n$ $\mu(A_n)<1/n$ y enteros $M_n$ con la propiedad de que $f_m(x)\le f(x)+\epsilon$ siempre $m\ge M_n$ $x\in \Omega\setminus A_n.$ Sin pérdida de generalidad, supongamos que el $M_n>n$ y que están aumentando, y por lo $A_{n+1}\subseteq A_n.$

Ahora, fix $n$ y la nota que

$$A_n= \bigcup_{m \geq M_n} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon \right \}$$

lo que significa que

$$\mu \left (\bigcup_{m \geq M_n} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon \right \} \right )<1/n.$$

Pero, a continuación,

$$\lim_{n \to \infty} \mu \left (\bigcup_{m \geq n} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon \right \} \right )=\lim_{n \to \infty}\mu \left (\bigcup_{m \geq M_n} \left \{ x \in \Omega:f_m(x) > f(x)+ \varepsilon \right \} \right )=0$$

la primera igualdad de ser verdad porque si alguno larga de una disminución de la secuencia de los números reales converge, entonces también lo hace la misma secuencia.