Demostrando que $(b_n) \to b$ implica $\left(\frac{1}{b_n}\right) \to \frac{1}{b}$

Question

En mi libro de texto (S. Abbott. La comprensión de Análisis 1 ed. pp 47 Teorema 2.3.3.iv), el autor demuestra $b_n \to b$ implica $\frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}$ la siguiente manera:

$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\frac{|b-b_n|}{|b||b_n|}$$

por lo tanto, ya podemos hacer el numerador tan pequeño como nos gusta, por definición, sólo tenemos que encontrar un "peor de los casos de estimación" de $\frac{1}{|b||b_n|}$ considerando $|b_n| \geq \lambda > 0$. Luego argumenta que necesitamos ir muy lejos en la secuencia, de modo que los términos están más cerca de a$b$$0$. Así, teniendo en cuenta $\epsilon_0$=$|b|/2$, podemos usar $|b_n-b|<|b|/2$ todos los $n \geq N_1$. Por lo tanto, $|b_n| \geq |b|/2$. A continuación, elegimos $N_2$ s.t. $n \geq N_2$ implica $|b_n-b|<\frac{\epsilon |b|^{2}}{2}$. Por último, si $N$ = max { $N_1, N_2$ }, $n \geq N$ implica $$\frac{|b-b_n|}{|b||b_n|}<\frac{\epsilon |b|^{2}}{2} \frac{1}{|b|\frac{|b|}{2}}=\epsilon.$$ Lo que me confunde es por eso que debemos elegir los elementos más cerca de $b$ a 0. Lo que hace el picking $\epsilon_0$=$|b|/3$ y $|b_n-b|<\frac{\epsilon |b|^{2}}{3}$ malo para la prueba? Gracias.

Answer 1

1. No importa que los elementos están más cerca de $b$$0$. El punto más importante a reconocer es que, más allá de la etapa de $N_1$, todos los términos de la secuencia se apartó de $0$. Así, usted estará en buena forma como siempre que hay un $N_1 \in \mathbb N$ y constante $\lambda > 0$ de manera tal que todos los términos más allá de la $N_1$th plazo son, al menos, $\lambda$ en magnitud. La elección de $\lambda = |b|/2$ es sólo conveniente, sino $|b|/3$ o $2|b|/3$ es igual de bueno.

2. Creo que quería preguntar acerca de la selección de $\epsilon_0$$\mathbf{2} |b|/3$. Recogiendo $\epsilon_0$ a ser más pequeñas (por ejemplo: $\epsilon_0 = |b|/3$) sólo hace que la secuencia más cerca de $b$. Como @DidierPiau señala, por el triángulo de la desigualdad, ahora tenemos $\frac{1}{|b_n|} \leq \frac{3}{2|b|}$, que es más pequeño que antes.

   Por último, los elementos también seguirá de cerca a$b$$0$, aunque este punto no tiene un significado real en la prueba de la OMI.

Answer 2

Esta pregunta ya ha sido contestada, pero creo que este escenario es un caso de matemáticas se escriben al revés. Con esto quiero decir que la mayoría de los $\epsilon$-$\delta$ las pruebas son escritas en un "mágico" de la manera en que las constantes son elegidos de tal manera que uno consigue $\epsilon$ en la final. Este proceso es análogo a la escritura de un primer borrador de un ensayo y luego lo que es brillante. Vamos a probar esto y luego ver qué pasa.

(También es de notar que si $f(x)$ es continua en un intervalo que contiene a$b$,$f(b_n) \to f(b)$. Fue por esta razón que hemos evitado $b \neq 0$ en la prueba anterior. Ahora, en la prueba en la mano).

Nuestro objetivo es demostrar que si $b_n \to b$,$\frac{1}{b_n} \to \frac{1}{b}$, siempre que $b \neq 0$. Desde $b_n \to b$, entonces para todos los $\epsilon_0 > 0$, existe un entero positivo $N_0$ tal que

$$ n \geq N_0 \quad \Longrightarrow \quad |b_n - b| < \epsilon_0. $$

Además, desde el $b \neq 0$, para cualquier $\lambda \in (0, |b|)$, existe un entero $N_1$ tal que $$ n \geq N_1 \quad \Longrightarrow \quad |b_n| > \lambda. $$
Deje $\epsilon > 0$. Como usted señala, por $n \geq \max\{ N_0, N_1\}$, tenemos $$ \left| \frac{1}{b_n} - \frac{1}{b}\right| = \frac{|b-b_n|}{|b||b_n|} < \frac{\epsilon_0}{|b| |b_n|} < \frac{\epsilon_0}{|b| \lambda}, $$

por lo que sería suficiente para elegir a$\epsilon_0$, de modo que $\frac{\epsilon_0}{|b|\lambda} = \epsilon$.

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No hay nada mágico acerca de esta prueba, pero, ahora vamos a cubrir nuestro trabajo y ejecutar el argumento de nuevo:

Deje $\epsilon > 0$$\lambda \in (0, |b|)$. Existe un entero $N$ tal que para $n \geq N$, tenemos $$ |b_n| > \lambda $$ y $$ |b_n - b| < \epsilon |b| \lambda. $$

Por lo tanto, para $n \geq N$, tenemos $$ \left| \frac{1}{b_n} - \frac{1}{b} \right| = \frac{|b_n - b|}{|b| |b_n|} < \frac{\epsilon |b| \lambda}{|b| \lambda} = \epsilon. $$

Tenga en cuenta que cualquier fija $\lambda \in (0, |b|)$ trabajaría para la prueba. El autor de su texto elija $\lambda = \frac{|b|}{2}$. La misteriosa elección de las constantes elegida por el autor es de nuevo nada más que correr el argumento de dos veces. La primera vez que ejecute el argumento, no es necesario ser cuidadoso con las mismas constantes. El segundo tiempo a través de, usted puede cubrir su trabajo. Aunque parece que las respuestas anteriores, ciertamente, respondió a sus preguntas, espero que esta respuesta es útil también.