¿Existe una solución no conmutativa $C^*$ -que no contiene una copia completamente isométrica de $M_n$ para cualquier $n>1$ ?

Question

Está claro que si un $C^*$ -contiene una copia homomórfica de $M_n$ para algunos $n>1$ entonces no puede ser conmutativo. Supongo que tener una copia de $M_n$ completamente isométrico debe ser equivalente a tenerlo a través de un $*$ -homorfismo. También se agradecerá cualquier comentario al respecto.

Esencialmente mi pregunta es, si la no conmutatividad de un $C^*$ -se debe a la presencia de alguna $M_n$ 's.

Answer 1

• En dimensión finita: todo C de dimensión finita $^*$ -es una suma directa de álgebras matriciales completas, por lo que cualquier álgebra C $^*$ -de dimensión finita contiene una copia de $M_n(\mathbb C)$ para algunos $n$ .

• En la dimensión infinita: hay muchos C $^*$ -que no tienen proyección, mientras que $M_n(\mathbb C)$ obviamente tiene proyecciones. Un ejemplo notable es $C_r^*(\mathbb F_2)$ el C reducido $^*$ -del grupo libre sobre dos generadores. Al no tener proyecciones, no contiene una copia de $M_n(\mathbb C)$ para cualquier $n>1$ .

Answer 2

No. Toda álgebra C* no conmutativa contiene una copia completamente isométrica de $M_2.$ Dejemos que $A$ sea un álgebra C* no conmutativa.

Supongamos primero que $A$ es una álgebra C* de tipo I. Dado que $A$ no es conmutativo admite una representación irreducible $\pi$ que no es unidimensional. Como $A$ es de tipo I, $\pi(A)$ contiene los operadores compactos (véase, por ejemplo, el teorema 6.8.7 en "C*-algebras and their automorphism groups" de Pedersen).

Por lo tanto, $\pi(A)$ contiene una copia (C*-algebraica) de $M_2$ (porque $\pi$ no es unidimensional). Dado que $\pi(A)$ es una álgebra C* nuclear, por el teorema de elevación de Choi-Effros existe una elevación ucp $\phi:\pi(A)\rightarrow A$ de $\pi$ es decir $\pi\phi$ es la identidad en $\pi(A).$ Por lo tanto, $\phi$ es una isometría completa. Como hay una copia de $M_2$ dentro de $\pi(A)$ obtenemos una copia completamente isométrica de $M_2$ dentro de $A.$

Supongamos ahora que $A$ no es de tipo I. Entonces un resultado de Blackadar ("Nonnuclear Subalgebras of C*-algebras" JOT 1985) muestra que hay una subálgebra $B\subseteq A$ tal que $B$ cocientes en el álgebra de Cuntz $\mathcal{O}_2.$ Es fácil ver que $\mathcal{O}_2$ contiene una copia C*-algebraica de $M_2$ (de hecho, el lapso de tiempo $\{ s_is_j^*:1\leq i,j\leq 2 \}\cong M_2$ donde $s_i$ son generadores estándar de $\mathcal{O}_2$ ). De nuevo, ya que $\mathcal{O}_2$ es nuclear obtenemos una elevación completamente isométrica de $\mathcal{O}_2$ en $B\subseteq A$ por el teorema de elevación de Choi-Effros, y por tanto una copia completamente isométrica de $M_2$ dentro de $A.$