¿Existe realmente un campo finito con cuatro elementos?

Question

queridos StackExchange de la comunidad, así que una vez más estoy confundido con este problema sobre campos finitos. El campo tiene cuatro elementos con la adición de la tabla como

$$\begin{array}{c|c|c|} + & 0 & 1 & x & x + 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & x & x + 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & x + 1 & x \\ \hline x & x & x + 1 & 0 & 1 \\ \hline x + 1 & x + 1 & x & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$$

y la tabla de multiplicación como

$$\begin{array}{c|c|c|} \times & 0 & 1 & x & x + 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 1 & x & x + 1 \\ \hline x & 0 & x & x + 1 & 1 \\ \hline x + 1 & 0 & x + 1 & 1 & x \\ \hline \end{array}$$

Ahora la pregunta que me supone que la respuesta es "No un campo finito con cuatro elementos existen en la realidad?". Yo sé la respuesta a esta pregunta debe ser que sí (a través mirando varios hilos aquí) y yo podría argumentar la existencia, demostrando a cada campo axioma, pero no creo que se la quería solución (demostrando ley de distribución también se haría para siempre).

Yo estoy muy confundido acerca de la pregunta en sí misma. Mi curso es todavía muy elemental y no entiendo el significado de un campo de existir. Quizá la pregunta está mal formulada? Yo simplemente no lo sé. Cualquier ayuda sería bueno y gracias de antemano.

Answer 1

Creo que se supone que debes verificar los axiomas. Los de suma y multiplicación son fáciles; puede señalar los grupos que representan. Como dices, la distributividad es la difícil. Nominalmente, dado que la adición es comutativa, tiene$24$ casos para verificar, cuatro multiplica por seis sumas. La mitad de ellos son triviales porque se multiplican por$0$ o$1$. Eso solo deja$12$, que no es tantos. Yo los haría y declararé la victoria.

Answer 2

Un campo con$4$ elementos se construye fácilmente: considere el campo del cociente$\;\mathbf Z/2\mathbf Z[X]/(X^2+X+1)$. Es un campo porque el polinomio$X^2+X+1$ es irreductible sobre$\mathbf Z/2\mathbf Z$, ya que es un polinomio cuadrático sin raíz en También, como$\mathbf Z/2\mathbf Z$ - espacio vectorial, tiene dimensión$2$, por lo tanto, su cardinalidad es$4$.

Las tablas que proporciona reflejan las leyes sobre este cociente. Por ejemplo,$x(x+1)=x^2+x\equiv -1$ desde$x^2+x+1\equiv0$ y$-1\equiv1$ en$\mathbf Z/2\mathbf Z$.

Answer 3

Basta observar que la adición y la multiplicación, como se define en la tabla es equivalente a la suma y la multiplicación de enteros polinomios en $x$ modulo $2$ y el modulo $x^2+x+1$, y, a continuación, observe que viajan en un cierto sentido. $ \def\zz{\mathbb{Z}} $

Es decir, para cualquier $f,g \in \zz[x]$ definir:

$f \oplus g = (f+g) \bmod 2 \bmod (x^2+x+1)$.

$f \odot g = (f·g) \bmod 2 \bmod (x^2+x+1)$.

Demostrar que para cualquier $f,g,m \in \zz[x]$ tenemos:

$f \bmod m \bmod m = f \bmod m$.

$(f+g) \bmod m = ( f \bmod m + g \bmod m ) \bmod m$.

$(f·g) \bmod m = ( ( f \bmod m ) · ( g \bmod m ) ) \bmod m$.

Juntos, estos pueden ser fácilmente utilizado para mostrar (para que hagas!) que la asociatividad y conmutatividad y distributividad de $\oplus,\odot$ en el conjunto de los polinomios de $F = \{0,1,x,x+1\}$ es equivalente a la asociatividad y conmutatividad y distributividad de $+,·$ entero polinomios, que es muy fácil de entender intuitivamente y de probar.

Answer 4

Si se le pregunta si existe algo, y quiere afirmar que no, una manera eficaz es, probablemente, sólo construir!

Lo que quiero decir con esto es que se ha preguntado si una cosa determinada (campo de con $4$ elementos), y de la que desea hacer valer lo que hace. Lo que puedes hacer es decir que sí, y demostrar que lo que afirma es un campo con $4$ elementos de la realidad es una.

El significado de "un campo de existir?", es exactamente lo que dice. Quieren probar por darles un ejemplo de uno, o de refutarla proporcionando una prueba en contrario.