Permítanme describir otras dos pruebas. Permítanme en primer lugar cambiar el nombre de su $m$ $n$ $n$
y $r$, ya que me resulta confuso cuando se $n$ no es el tamaño de la plaza
las matrices involucradas. Así que usted está reclamando el siguiente:
Teorema 1. Deje $\mathbb{K}$ ser un anillo conmutativo. Deje $n\in\mathbb{N}$
y $r\in\mathbb{N}$ ser tal que $n<r$. Deje $A_{1},A_{2},\ldots,A_{r}$ ser
$n\times n$-matrices de más de $\mathbb{K}$. A continuación,
\begin{equation}
\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }\det\left( \sum\limits_{i\in I}A_{i}\right) =0.
\end{equation}
Aviso que me he metido en uno más pequeño cambio en su fórmula: he agregado
el sumando de a $I=\varnothing$. Este sumando no suele aportar mucho,
debido a que $\det\left( \sum\limits_{i\in\varnothing}A_{i}\right) =\det\left(
0_{n\times n}\right) $ is usually $0$... unless $n=0$, en cuyo caso
contribuye $\det\left( 0_{0\times0}\right) =1$ (tenga en cuenta que hay
sólo una $0\times0$-de la matriz y su determinante es $1$), y el conjunto de la igualdad
falla si esta sumando que falta.
Una primera prueba del Teorema 1 que aparece en (la solución) Ejercicio 5.48 en mi
Notas sobre la combinatoria fundamentos de álgebra, la versión de 18 de noviembre de
2017. (Para obtener
Teorema 1 de este ejercicio, establezca $G=\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} $.) El
la idea principal de esta prueba es que el Teorema 1 implica no solamente por los factores determinantes, pero
para cada una de las $n!$ de los productos que componen el determinante (suponiendo que
definir el determinante de una $n\times n$-matriz como una suma sobre el $n!$
permutaciones); esto es demostrado por una alternancia de signos de suma y de la explotación de
discretos "interferencia destructiva" (es decir, el hecho de que si $G$ es un finito
establecer y $R$ es un subconjunto de a$G$, $\sum\limits_{\substack{I\subseteq
G;\\R\subseteq I}}\left( -1\right) ^{\left\vert I\right\vert }=
\begin{cases}
1, & \text{if }R=G;\\
0, & \text{if }R\neq G
\end{casos}
$).
Permítanme ahora esbozar una segunda prueba del Teorema 1, la cual muestra que no es
realmente acerca de los determinantes. Es acerca de las diferencias finitas, en un poco más
contexto general de lo que se suele estudiar.
Deje $M$ cualquier $\mathbb{K}$-módulo. El dual $\mathbb{K}$-módulo $M^{\vee
}=\operatorname{Hom}_{\mathbb{K}}\left( M,\mathbb{K}\right) $ de
$M$ se compone de todos los $\mathbb{K}$-lineal mapas de $M\rightarrow\mathbb{K}$. Por lo tanto,
$M^{\vee}$ $\mathbb{K}$- submódulo de la $\mathbb{K}$-módulo de
$\mathbb{K}^{M}$ de todos los mapas de $M\rightarrow\mathbb{K}$. El $\mathbb{K}
$-module $\mathbb{K}^{M}$ becomes a commutative $\mathbb{K}$-álgebra (acabamos de
definir la multiplicación para ser pointwise, es decir, el producto $fg$ de los dos mapas
$f,g:M\rightarrow\mathbb{K}$ envía cada una de las $m\in M$ $f\left( m\right)
g\left( m\right) \in\mathbb{K}$).
Para cualquier $d\in\mathbb{N}$, dejamos $M^{\vee d}$ $\mathbb{K}$- lineal span
de todos los elementos de a $\mathbb{K}^{M}$ de la forma $f_{1}f_{2}\cdots f_{d}$
$f_{1},f_{2},\ldots,f_{d}\in M^{\vee}$. (Para $d=0$, el único elemento en común es
el vacío del producto $1$, lo $M^{\vee0}$ consiste en la constante de mapas
$M\rightarrow\mathbb{K}$. Observe también que $M^{\vee1}=M^{\vee}$.) Los elementos
de $M^{\vee d}$ se llama homogénea de funciones polinómicas de grado $d$ en
$M$. La idea subyacente es que si $M$ es un servicio gratuito de $\mathbb{K}$-módulo con un
dado, entonces los elementos de a $M^{\vee d}$ son los mapas $M\rightarrow
\mathbb{K}$ que puede ser expresado como polinomios de coordinar las funciones de
con respecto a esta base; pero el $\mathbb{K}$-módulo de $M^{\vee d}$ hace
perfecto sentido si o no $M$ es gratis.
También nos hemos fijado $M^{\vee d}=0$ (el cero $\mathbb{K}$-submódulo de $\mathbb{K}
^{M}$) for $d<0$.
Para cualquier $x\in M$, podemos definir el $\mathbb{K}$-lineal mapa de $S_{x}:\mathbb{K}
^{M}\rightarrow\mathbb{K}^{M}$ mediante el establecimiento de
\begin{equation}
\left( S_{x}f\right) \left( m\right) =f\left( m+x\right) \qquad\text{for
each }m\in M\text{ and }f\in\mathbb{K}^{M}.
\end{equation}
Este mapa $S_{x}$ se llama un cambio de operador. Es un endomorfismo de la
$\mathbb{K}$-álgebra $\mathbb{K}^{M}$ y conserva todo el $\mathbb{K}
$-submodules $M^{\vee d}$ (for all $d\in\mathbb{Z}$).
Además, para cualquier $x\in M$, podemos definir el $\mathbb{K}$-lineal mapa de $\Delta
_{x}:\mathbb{K}^{M}\rightarrow\mathbb{K}^{M}$ by $\Delta_{x}
=\operatorname*{id}-S_{x}$. Por lo tanto,
\begin{equation}
\left( \Delta_{x}f\right) \left( m\right) =f\left( m\right) -f\left(
m+x\right) \qquad\text{for each }m\in M\text{ and }f\in\mathbb{K}^{M}.
\end{equation}
Este mapa $\Delta_{x}$ se llama un operador diferencia. El siguiente crucial
hecho demuestra que "disminuye el grado de un polinomio de la función, del mismo modo
cómo diferenciación disminuye el grado de un polinomio:
Lema 2. Deje $x \in M$. Entonces, $\Delta_{x}M^{\vee d}\subseteq M^{\v\a la izquierda( d-1\right)
}$ for each $d\in\mathbb{Z}$.
[Los más fáciles de la prueba del Lema 2 es por inducción sobre $d$, utilizando la siguiente
sencilla fórmula:
\begin{equation}
\Delta_{x}\left( fg\right) =\left( \Delta_{x}f\right) g+\left(
S_{x}f\right) \left( \Delta_{x}g\right)
\qquad \text{for every } f, g \in \mathbb{K}^M
\end{equation}
(y la igualmente sencillo hecho de que el $\mathbb{K}$-módulo $M^{\vee
d}$ is spanned by maps of the form $fg$ with $f\M^{\v\a la izquierda( d-1\right)
}$ and $g\M^{\vee}$, whenever $d>0$).]
El siguiente hecho sigue por inducción utilizando el Lema 2:
Corolario 3. Deje $r\in\mathbb{N}$. Deje $x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}$ $r$
elementos de $M$. A continuación,
\begin{equation}
\Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}}M^{\vee d}\subseteq
M^{\vee\left( d-r\right) }
\end{equation}
para cada una de las $d\in\mathbb{Z}$.
Y como consecuencia de esto, obtenemos lo siguiente:
Corolario 4. Deje $r\in\mathbb{N}$. Deje $x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}$ $r$
elementos de $M$. A continuación,
\begin{equation}
\Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}}M^{\vee d}=0
\end{equation}
para cada una de las $d\in\mathbb{Z}$ satisfacción $d<r$.
[De hecho, Corolario 4 se sigue inmediatamente de Corolario 3, debido a que $d<r$
implica $M^{\vee\left( d-r\right) }=0$.]
Para hacer uso de Corolario 4, queremos una manera más o menos explícita expresión de cómo
$\Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}}$ actos en los mapas en
$\mathbb{K}^{M}$. Este es el hecho siguiente:
Proposición 5. Deje $r\in\mathbb{N}$. Deje $x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}$ $r$
elementos de $M$. A continuación,
\begin{equation}
\left( \Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}}f\right) \left(
m\right) =\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }f\left( m+\sum\limits_{i\in I}x_{i}\right)
\qquad\text{for each }m\in M\text{ and }f\in\mathbb{K}^{M}.
\end{equation}
[La proposición 5 se puede demostrar por inducción sobre $r$, donde la inducción paso
consiste en dividir la suma en el lado derecho en la parte con la $I$
que contengan $r$ y la parte con la $I$ que no. Pero también hay un
astuto argumento, que necesita un tiempo de preparación. Los mapas de $S_{x}\en
\operatorname{End}_{\mathbb{K}}\left( \mathbb{K}^{M}\right) $ de
diferentes elementos de la $x\in M$ commute, mejor aún, a que se cumplan los
la multiplicación de la regla de $S_{x}S_{y}=S_{x+y}$ (como se puede comprobar inmediatamente).
Por lo tanto, por inducción sobre $\left\vert I\right\vert $, podemos concluir que, si $I$
es cualquier conjunto finito, y si $x_{i}$ es un elemento de $M$ por cada $i\in I$, luego
\begin{equation}
\prod\limits_{i\in I}S_{x_{i}}=S_{\sum\limits_{i\in I}x_{i}}
\qquad \text{in the ring } \operatorname{End}_{\mathbb{K}} \left(\mathbb{K}^M\right) .
\end{equation}
Me referiré a este hecho como el S-regla de la multiplicación.
Ahora, vamos a demostrar la Proposición 5. Deje $x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}$ $r$
elementos de $M$. Recordemos la conocida fórmula
\begin{equation}
\prod\limits_{i\in\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( 1-a_{i}\right)
=\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }\prod\limits_{i\in I}a_{i},
\end{equation}
que tiene siempre $a_{1},a_{2},\ldots,a_{r}$ son desplazamientos de los elementos de algunos
anillo. La aplicación de esta fórmula a $a_{i}=S_{x_{i}}$, obtenemos
\begin{equation}
\prod\limits_{i\in\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( \operatorname*{id}
-S_{x_{i}}\right) =\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left(
-1\right) ^{\left\vert I\right\vert }\prod\limits_{i\in I}S_{x_{i}}
\end{equation}
(desde $S_{x_{1}},S_{x_{2}},\ldots,S_{x_{r}}$ son desplazamientos de los elementos de la
anillo de $\operatorname{End}_{\mathbb{K}}\left( \mathbb{K}^{M}\right)
$). Por lo tanto,
\begin{align*}
\Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}} & =\prod\limits_{i\in\left\{
1,2,\ldots,r\right\} }\underbrace{\Delta_{x_{i}}}
_{\substack{=\operatorname*{id}-S_{x_{i}}\\\text{(by the definition of }
\Delta_{x_{i}}\text{)}}}=\prod\limits_{i\in\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left(
\operatorname*{id}-S_{x_{i}}\right) \\
& =\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }\underbrace{\prod\limits_{i\in I}S_{x_{i}}}
_{\substack{=S_{\sum\limits_{i\in I}x_{i}}\\\text{(by the S-multiplication rule)}
}}=\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }S_{\sum\limits_{i\in I}x_{i}}.
\end{align*}
Por lo tanto, para cada una de las $m\in M$$f\in\mathbb{K}^{M}$, obtenemos
\begin{align*}
& \left( \Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}}f\right) \left(
m\right) \\
& =\left( \sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }S_{\sum\limits_{i\in I}x_{i}}f\right) \left( m\right)
\\
& =\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }\underbrace{\left( S_{\sum\limits_{i\in I}x_{i}}f\right)
\left( m\right) }_{\substack{=f\left( m+\sum\limits_{i\in I}x_{i}\right)
\\\text{(by the definition of the shift operators)}}}\\
& =\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }f\left( m+\sum\limits_{i\in I}x_{i}\right) .
\end{align*}
Así, la Proposición 5 está probada.]
Ahora podemos combinar Corolario 4 con la Proposición de 5 y obtiene las siguientes:
Corolario 6. Deje $x_{1},x_{2},\ldots,x_{r}$ $r$ elementos de $M$. Vamos
$d\in\mathbb{Z}$ ser tal que $d<r$. Deje $f\in M^{\vee d}$$m\in M$. A continuación,
\begin{equation}
\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }f\left( m+\sum\limits_{i\in I}x_{i}\right) =0.
\end{equation}
[De hecho, el Corolario 6 desprende de la computación
\begin{align*}
& \sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }f\left( m+\sum\limits_{i\in I}x_{i}\right) \\
& =\underbrace{\left( \Delta_{x_{1}}\Delta_{x_{2}}\cdots\Delta_{x_{r}
}f\right) }_{\substack{=0\\\text{(by Corollary 4, since } f \in M^{\vee d} \text{)}}}\left( m\right)
\qquad\left( \text{by Proposition 5}\right) \\
& =0.
\end{align*}
]
Por último, vamos a demostrar el Teorema 1. La matriz de anillo de $\mathbb{K}^{n\times n}$ es un
$\mathbb{K}$-módulo. Deje $M$ esto $\mathbb{K}$-módulo de $\mathbb{K}^{n\times
n}$. For each $i,j\in\left\{ 1,2,\ldots,n\right\} $, we let $x_{i,j}$ se la
mapa de $M\rightarrow\mathbb{K}$ que envía cada matriz $M$ a su $\left(
i,j\right) $-th entry; this map $x_{i,j}$ is $\mathbb{K}$-lineal y por lo tanto
pertenece a $M^{\vee}$.
Es fácil ver que el mapa de $\det:\mathbb{K}^{n\times n}\rightarrow
\mathbb{K}$ (sending each $n\times n$-matriz para su determinante) es un
homogénea función polinómica de grado $n$$M$; de hecho, puede ser
representado en la conmutativa $\mathbb{K}$-álgebra $\mathbb{K}^M$
\begin{equation}
\det=\sum\limits_{\sigma\in S_{n}}\left( -1\right) ^{\sigma}x_{1,\sigma\left(
1\right) }x_{2,\sigma\left( 2\right) }\cdots x_{n,\sigma\left( n\right)
},
\end{equation}
donde $S_{n}$ $n$- ésimo grupo simétrico, y donde $\left( -1\right)
^{\sigma}$ denotes the sign of a permutation $\sigma$. En otras palabras,
$\det\in M^{\vee n}$. Por lo tanto, el Corolario 6 (aplicado a $x_{i}=A_{i}$, $d=n$,
$f=\det$ $m=0$ ) de los rendimientos de
\begin{equation}
\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }\det\left( 0+\sum\limits_{i\in I}A_{i}\right) =0.
\end{equation}
En otras palabras,
\begin{equation}
\sum\limits_{I\subseteq\left\{ 1,2,\ldots,r\right\} }\left( -1\right)
^{\left\vert I\right\vert }\det\left( \sum\limits_{i\in I}A_{i}\right) =0.
\end{equation}
Esto demuestra el Teorema 1.