Muestre que$a_{n+1}= 1 + {\dfrac{1}{a_n}}$ converge.

Question

Deje que$\{a_n\}$ se defina por$a_1 =1 $ y$a_{n+1} = 1 + {\dfrac{1}{a_n}}$ con$n \in N$.

Muestre que$a_{n+1}= 1 + {\dfrac{1}{a_n}}$ converge.

Conozco el límite, pero ¿cómo puedo demostrar que es una secuencia de Cauchy o que esta secuencia converge?

Answer 1

Insinuación. Deje$f(x)=1+1/x$ luego$f:[3/2,2]\to [3/2,2]$ y para$x\in [3/2,2]$,$$|f(x)-f(y)|= \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right|\leq \frac{4}{9}|x-y|.$ $ Eso es$f$ es una contracción.

Ahora$a_{n+1}=f(a_n)$ y$a_2=f(a_1)=2$ y según el teorema de punto fijo de Banach ,$(a_n)_n$ tiende al punto fijo único de$f$ en el intervalo$[3/2,2]$.

Answer 2

Después de tantas buenas respuestas, esta es solo para compartir conocimientos$$a_1=1, a_2=2, a_3=\frac{3}{2}, a_4=\frac{5}{3}, ...$ $ y por inducción$$a_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$ $ donde$\{F_n\}$ son números de Fibonacci , ya que$$a_{n+1}=1+\frac{1}{a_n}=1+\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+1}+F_{n}}{F_{n+1}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}}$ $ y $$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ps

Answer 3

Sugerencia: demuestre que si$a_n < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ luego$a_n < a_{n+2}$. Del mismo modo, demuestre que si$a_n > \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, entonces$a_n > a_{n+2}$.

Answer 4

Así que vamos al límite - suponiendo que no es un ser $a$ y tenga en cuenta que $2\gt a\gt 1$ y $a=1+\frac 1a$ donde $a^2=a+1$.

Ahora escribo $a_n=a+e_n$, de modo que $$a+e_{n+1}=1+\frac 1{a+e_n}$$

En la limpieza de las fracciones obtenemos $$a^2+ae_{n+1}+ae_n+e_ne_{n+1}=a+e_n+1$$ so that $$e_{n+1}=e_n\cdot\frac {1-a}{a+e_n}=-e_n\cdot\frac {a-1}{a+e_n}$$

Use esto para mostrar que el término de error suplentes en signo y disminuye en valor absoluto - usted debe ser capaz de demostrar que el error se reduce geométricamente en magnitud, y por lo tanto tiende a cero. Si el error tiende a cero, se tiene la convergencia.

Esta técnica de aislar el error puede no ser el más eficiente, pero si usted está atascado, puede ayudar a mostrar lo que está pasando. Tenga en cuenta que todos los términos equivalentes a la ecuación original convenientemente abandono este es un fenómeno general, y si no sucede, es una indicación de que no hay límite, o que ha habido un error en el cálculo.

Answer 5

Aquí hay otra respuesta más: Observe que$a_n \geq 1$ para todos$n \in \{1, 2, 3, ...\}$. Deje$b=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})$, que satisface$b = 1+\frac{1}{b}$ y$b>1$. Luego, para todo$n \in \{1, 2, 3, ...\}$:$$ |a_{n+1}-b| = |(1+\frac{1}{a_n}) - (1 + \frac{1}{b})| = \frac{|a_n-b|}{a_nb} \leq \frac{|a_n-b|}{b}$ $, donde la última desigualdad usa$a_n\geq 1$. El error disminuye exponencialmente rápido.