Es$x^{1/3}$ diferenciable en$0$?

Question

Se me ocurrió que las funciones que son "suaves", pero la "ladera infinita" no puede ser considerado diferenciable en los puntos donde su pendiente es infinita. Un ejemplo sencillo de esto es $x^{1/3}$, que es "suave" en un sentido visual (es decir, no hay saltos en la ladera, como en una función como $$ f(x) = \begin{cases} x & x\ge 0 \\ 2x & x< 0 \end{casos} $$ que es continua en el origen, sino que tiene diferentes pistas a medida que nos acercamos $0$ en direcciones diferentes), sin embargo en el origen de los derivados de los enfoques infinito.

Así que hay una discrepancia entre el sentido intuitivo de "diferenciable" y la matemática definición rigurosa. Intuitivamente me gustaría decir que sí, $x^{1/3}$ es diferenciable en a $0$, pero matemáticamente yo estaría obligado a decir que no, ya que por definición el límite del cociente de newton de esta función de los enfoques $\infty$, y así no existe.

Otro ejemplo es la función de $(xy)^{1/3}$$\mathbb{R}^2$. Es esta función diferenciable en el $x$ $y$ ejes? (con $(x,y)\neq(0,0)$, cuando en realidad no es diferenciable) hay una noción de la diferenciabilidad que reconcilia esta discrepancia?

Answer 1

La función$x^{1/3}$ no es derivable en$x=0$, pero el gráfico$\{(x,x^{1/3})\colon x\in\mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}^2$ es una subvariedad suave, algo que, por ejemplo, no ocurre con$x^{2/3}$. Creo que esta última noción es la que reconcilia su discrepancia.

Answer 2

Me gustaría decirle a usted por qué debemos considerar la posibilidad de tales funciones no differentible,

Para las funciones cuya pendiente es la infinidad de ambos lados, por ej.,$$x^{\frac{1}{3}}$$ Sus gráficos de derivados aparecen como este, Esto nos da una función discontinua,

Es por eso que decimos gráfico como $x^{\frac{1}{3}}$ son no-differentible en $x=0$

Muchos de los comentarios son como ohhh! differentible is not same as smooth Pero yo tiendo a estar en desacuerdo con esta opinión, El hombre que descubrió este differentiable lo han hecho de forma intuitiva y no de la nada, Debemos, en lugar de aceptar las definiciones de las leyes, aprender la intuición, esto ayuda a ser un mejor matemático.

Answer 3

Funciones no diferenciables en los puntos donde se han ladera infinita, y en ese sentido la equiparación de la "diferenciable" con "suave" no es perfecta.

Tan lejos como funciones de dos o más variables vaya, una complicación es que en algunos casos son considerados no diferenciable en los puntos donde no sólo las derivadas parciales existen, pero todas las derivadas direccionales de existir. Por ejemplo: $$ f(x,y) = r\sin(2\theta) \text{ donde } r = \sqrt{x^2+y^2} \text{ y } x=r\cos\theta \text{ y } y = r\sin\theta. $$ Para esta función tiene $$ \left.\frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(x,y)=(0,0)} = 0 \text{ y } \left.\frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(x,y)=(0,0)} = 0 \tag 1 $$ y aún más la derivada direccional en cualquier dirección existe, no obstante, la función no es diferenciable en a $(0,0).$ La razón es que la línea $(1)$ por encima requeriría que el plano tangente a coincidir con el $x,y$-plane, pero la pendiente en dirección a mitad de camino entre las direcciones de las $x$ - $y$- ejes no es $0,$ pero $1.$