Pruebalo, $|f'(x)-f'(y)|\le k|x-y| \implies (f'(x))^2< 2 kf(x)$

Question

Permita que$f:\Bbb R\to (0,\infty)$ sea una función diferenciable de manera que para alguna constante$k$ tengamos, $$|f'(x)-f'(y)|\le k|x-y|$ $ para todos$x,y \in\Bbb R.$ Luego pruebe que,$$ (f'(x))^2<2 kf(x).

Debido a la falta de argumentos, no pude probar esta desigualdad. Pero mejor dicho, probé que es cierto para la función particular, $$f(x) =\cos^2(x)+1\implies f'(x) = -\sin(2x).$ $ Y tenemos fácilmente,$$ |\sin(2x)-\sin(2y)| = \left|\int_{2x}^{2y}\cos t dt\right|\le 2|x-y| también

ps

También es cierto para la función$$(f'(x))^2 = 4 \sin^2 x\cos^2x < 4(\cos^2x +1) = 4f(x).$

De estos ejemplos, no veo cómo probar el caso general. Cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Fix $x \in \Bbb R$.

$f'$ (Lipschitz continuas y por lo tanto integrable. Para cualquier $d \ge 0$ hemos $$0 < f(x+d) = f(x) + \int_x^{x+d} f'(t) \, dt = f(x) + df'(x) + \int_x^{x+d}(f'(t) - f'(x)) \, dt \\ \le f(x) + df'(x) + \int_x^{x+d}k(t-x) \, dt \\ = f(x) + df'(x) + \frac 12 kd^2$$ y el mismo presupuesto tiene para $d < 0$, porque entonces $$\int_x^{x+d}(f'(t) - f'(x)) \, dt = -\int_{x+d}^x(f'(t) - f'(x)) \, dt \le -\int_{x+d}^x k(t-x) \, dt = \frac 12 k d^2 \, .$$

En particular, para $d = -\frac{f'(x)}{k}$ tenemos $$0 < f(x) - \frac{f'(x)^2}{k} + \frac{f'(x)^2}{2k} = f(x) - \frac{f'(x)^2}{2k}$$ cual es la conclusión deseada.

Answer 2

Esto es una reminiscencia de la desigualdad de Landau .

WLOG$k=1$ (considere$g=f/k$).

Supongamos$f'(0)^2 \ge 2f(0)$. WLOG$f'(0) \le -(2f(0))^{1/2}$ (si otoh$f'(0)$ es positivo, considere$g(t)=f(-t)$.) Luego, para cada$t>0$ tenemos $$f'(t)\le t-(2f(0))^{1/2}.$$ Integrating, this shows that $$f(x)\le f(0)+x^2/2-2x(2f(0))^{1/2}$$ for every $x> 0$. If $x = (8f (0)) ^ {1/2}$ it follows that $ f (x)

Asi que $f'(0)^2<2f(0)$. El caso general sigue ((let$g(t)=f(x+t)$.)