Dejemos que $G$ , $H$ y $K$ sean grupos abelianos. Supongamos que $G \oplus H \cong G \oplus K$ . Si cada uno de ellos está finitamente generado, entonces el teorema de la estructura nos da fácilmente que $H \cong K$ . Sin embargo, existen contraejemplos en el caso general, a saber $H=\mathbb{Z}$ , $K=\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ y $G=\bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb{Z}$ .
Me pregunto qué es lo que falla en el siguiente argumento:
Formar la secuencia exacta corta dividida
$$0 \to G \xrightarrow{i} G \oplus H \xrightarrow{\pi} H \to 0$$
donde $i$ y $\pi$ son la inclusión y la proyección, respectivamente. Entonces, ¿no obtenemos inmediatamente del primer teorema del isomorfismo que $H \cong (G \oplus H)/G$ ¿contradice el contraejemplo anterior?
Si ejecutamos esto para el contraejemplo dado, obtenemos la secuencia
$$0 \to \bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb{Z} \to \bigoplus_{i=1}^\infty\mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0$$
que parece que sigue siendo corto exacto, aunque aquí $G \cong G \oplus H$ . Pero por supuesto aquí podemos ver directamente que $(G \oplus H)/G \cong G/G$ que es trivial. Entonces, ¿qué fue lo que salió mal?
Me parece que es algo parecido a esto: En este caso, el núcleo de la proyección no es el mismo que el grupo original, es sólo, digamos, $0 \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \dots$ es decir, no trivial a partir de la segunda coordenada, que resulta ser isomorfa al grupo original. Así que si formamos la otra secuencia exacta corta con $K$ en lugar de $H$ entonces la diferencia parece ser que tenemos dos mapas de proyección diferentes con núcleos diferentes (pero isomorfos).
Pero no estoy muy seguro de cómo explicar esto en el caso general, si mi razonamiento es correcto para empezar.
¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!
