Funciones analíticas cuyos todos los derivados mantienen$\mathbb{Z}$ invariante

Question

¿Existe una función analítica real$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que no sea una función polinómica pero todas sus derivadas$f^{(n)}$ satisfacen$f^{(n)}(\mathbb{Z})\subseteq \mathbb{Z}$?

Esta pregunta se incluyó en una pregunta más flexible de la siguiente manera, pero de acuerdo con sus respuestas y comentarios, me di cuenta de que la versión fluida de esta pregunta era obvia.

Funciones suaves o analíticas que mantienen$\mathbb{Z}$ invariante

Answer 1

Funciones de la satisfacción de $f^{(n)}(\mathbb Z)\subseteq\mathbb Z$ son llamados absolutamente valores enteros. No es una simple construcción de un completamente valores enteros 1-periódico de la función dada en Sato, Daihachiro. Absolutamente valores enteros totalidad de las funciones. I. Pacífico J. Math. 118 (1985), no. 2, 523--530. Me acaba de dar la idea.

Tener en cuenta una serie de la forma

$$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n\sin^n(2\pi z).$$

Formalmente, al menos, $f^{(n)}(0) = a_n n!(2\pi)^n + R(n)$ donde $R(n)$ sólo depende de $a_0,\dots,a_{n-1}.$ $a_n$ puede ser elegido de forma inductiva tal que $f^{(n)}(0)$ es el más cercano entero distinto de cero a $R(n),$ dar $|a_n|\leq 1/n!(2\pi)^n.$ Esta tasa de crecimiento se garantiza que la serie se define una función, que por construcción es absolutamente valores enteros.