¿Cómo se define el área?

Question

Pensando en el área en el contexto de la medida de Lebesgue, tengo una comprensión intuitiva de cómo se construye el área en $\mathbb{R}^2$:

• definir todos los rectángulos para tener el área $longitud \times anchura$,
• el área de una forma en $\mathbb{R}^2$ es el área más pequeña obtenida al cubrir la forma con rectángulos.

En la práctica, al calcular el área de Gran Bretaña, por ejemplo, tengo la siguiente imagen en mente.

Este proceso se puede hacer riguroso a través de la teoría de la medida. De hecho, es la medida única, si los rectángulos tienen un área de $longitud \times anchura$ por el teorema de extensión de Carathéodory.

Sin embargo, este proceso está limitado al área en el plano. ¿Cómo puedo pensar en el área superficial de una esfera, por ejemplo? ¿Y puedo mostrar que es consistente con la noción anterior?

¿Existe un proceso similar para encontrar el área superficial de cualquier forma? Si no, ¿cómo se hace esto?

Answer 1

Este resulta ser un problema sorprendentemente difícil. En 1890, Karl Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) publicó un ejemplo que mostraba que la definición aceptada de área superficial da un área infinita para un cilindro al demostrar que existe una secuencia de poliedros inscritos que convergen uniformemente a un cilindro, de manera que las áreas de los poliedros divergen hacia el infinito. Ver [1] para una buena discusión del ejemplo de Schwarz, y ver esta nota de V. Frederick Rickey para obtener una discusión muy agradable y detallada de la historia detrás del ejemplo de Schwarz. El ejemplo de Schwarz llevó a muchas personas a desarrollar diversas aproximaciones al área superficial, incluyendo a Lebesgue, Fréchet, Carathéodory, Favard, Besicovitch y otros --- ver [2] y [3] así como las introducciones y bibliografías de los documentos restantes, que he dado en orden cronológico. Estos documentos restantes fueron elegidos principalmente por ser trabajos fundamentales en este campo y para mostrar la profundidad matemática de la investigación que (razonablemente se podría argumentar) se ha desarrollado a partir de este problema del área superficial.

[1] Frieda Zames (1932-2005), Área superficial y la paradoja del área del cilindro, Two-Year College Mathematics Journal [después de 1983: College Mathematics Journal] 8 #4 (septiembre de 1977), 207-211. [otra copia aquí]

[2] John William Theodore Youngs (1910-1970), Curvas y superficies, American Mathematical Monthly 51 #1 (enero de 1944), 1-11.

[3] Lamberto Cesari (1910-1990), Área y representación de superficies, Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas 56 #3 (mayo de 1950), 218-232.

[4] Ralph Lent Jeffery (1889-1975), Conjuntos de $k$-extensión en $n$- espacio dimensional, Transacciones de la Sociedad Americana de Matemáticas 35 #3 (julio de 1933), 629-647.

[5] Anthony Perry Morse (1911-1984) y John Adams Fitz Randolph (1904-1988), Los $\phi$ subconjuntos rectificables del plano, Transacciones de la Sociedad Americana de Matemáticas 55 #2 (marzo de 1944), 236-305.

[6] Herbert Federer (1920-2010), Los $(\phi,k)$ subconjuntos rectificables de $n$ espacio, Transacciones de la Sociedad Americana de Matemáticas 62 #2 (julio de 1947), 114-192.

[7] Herbert Federer (1920-2010), Medida y área, Boletín de la Sociedad Americana de Matemáticas 58 #3 (mayo de 1952), 306-378.

[8] John Martin Marstrand (1928-____), Los $(\phi,s)$ subconjuntos regulares de $n$-espacio, Transacciones de la Sociedad Americana de Matemáticas 113 #3 (diciembre de 1964), 369-392.

[9] David Preiss (1947-____), Geometría de medidas en R$^n$: Distribución, rectificabilidad y densidades, Anales de Matemáticas (2) 125 #3 (mayo de 1987), 537-643. [disponible gratuitamente aquí]

Answer 2

Carathéodory [1] proporcionó un método para construir una medida $p$-dimensional en un espacio $n$ que generaliza el contenido $p$-dimensional estándar.

[1] C. Carathéodory, "Über das lineare Mass von Punktmengen, eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs" Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen (1914) pp. 404–426.

{Insertar traducción al inglés en:
[2] Clásicos sobre Fractales, Editado por Gerald A. Edgar. Westview Press, 2004. ISBN: 0-8133-4153-1

Resumen para el área de superficie en el espacio $3$

Sea $E \subseteq \mathbb R^3$ un conjunto. Y queremos el "área" de $E$. Para un número positivo $\epsilon$, sea $$ \mathcal H^2_\epsilon(E) = \inf \sum_{k=1}^\infty \big(\mathrm{diam}(C_k)\big)^2 $$ donde $\mathrm(C_k)$ es el diámetro del conjunto $C_k$, y el infimo se toma sobre todas las cubiertas contables de $E$ por conjuntos con diámetro a lo sumo $\epsilon$: $$ E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty C_k,\qquad \mathrm{diam}(C_k) \le \epsilon $$ y luego sea $$ \mathcal H^2(E) = \lim_{\epsilon \to 0} \mathcal H^2_\epsilon(E) $$ Ajustando por un factor constante apropiado (creo que $\pi/4$) para que esto coincida con el área usual de conjuntos planos, definimos $$ \frac{\pi}{4}\;\mathcal H^2(E) $$ como el "área" de $E$.

Answer 3

Las cosas son menos obvias para las superficies curvas. Todavía puedes considerar una cobertura con formas elementales, pero esto plantea una dificultad: incluso si encuentras formas de teselado (podría ser un rectángulo en un sistema de coordenadas curvilíneo), aún necesitas conocer las áreas de estas formas.

Para una esfera, puedes utilizar el sistema de meridianos y paralelos, pero es un asunto no trivial establecer que el área de una tesela es proporcional al seno de la colatitud.