Son las partes fraccionarias de $\log \log n!$ equidistributed o densa en $[0,1]$?

Question

Hay resultados correspondientes a la distribución de la secuencia de $\{\log \log n!\}$ para los números enteros $n$ donde $\{x\}$ denota la parte fraccionaria de $x$?

Por ejemplo, se sabe que para irracionales números reales $\alpha$, la secuencia de $\{n\alpha\}$ es denso en $[0,1]$ y en el hecho de equidistributed. Hace algo similar mantenga para los logaritmos de los logaritmos de los factoriales?

(Esta curiosidad es provocado por esta pregunta, y su respuesta es afirmativa aquí se completa la respuesta a esa pregunta.)

Answer 1

Secuencia $\log n$ no es equidistributed. La razón es $\log[n]$ crece muy lentamente y por lo $\{\log n\}$ se concentra en la parte inferior de $[0,1]$. Desde $\log\log n!$ crece aproximadamente como $\log(n\log n)$ probablemente la misma prueba será válida.

Answer 2

La definición de factorial da $$ \log(n!)-\log((n-1)!)=\log(n)\etiqueta{1} $$ Puesto que la derivada de $\log(x)$ es $1/x$, $(1)$ y el Valor medio Teorema de rendimiento $$ \begin{align} \log(\log(n!))-\log(\log((n-1)!)) &\in\left(\frac{\log(n)}{\log(n!)},\frac{\log(n)}{\log(n!)-\log(n)}\right)\\ &=\frac{\log(n)}{n\log(n)-n+O(\log(n))}\tag{2} \end{align} $$ La densidad de $\log(\log(n!))$ es el recíproco de $(2)$: $n-\frac{n}{\log(n)}+O(1)$ y $$ \log(\log(n!))=\log(n)+\log(\log(n))-\frac{1}{\log(n)}+O\left(\frac{1}{\log(n)^2}\right)\etiqueta{3} $$ Como $n\to\infty$, $\log(\log(n!))\sim\log(n)$ y la densidad de $\sim n$. Desde la limitación de la densidad se determina cuando se $n$ es grande, tenemos que la densidad de $\{\log(\log(n!))\}$$\frac{e^x}{e-1}$$[0,1]$.

Explicación más detallada sobre el $\frac{e^x}{e-1}$:

Desde $\log(\log(n!))=\log(n)+\log(\log(n))-\frac{1}{\log(n)}+O\left(\frac{1}{\log(n)^2}\right)$, $\{\log(\log(n!))\}$ los ciclos a través de $[0,1]$ sólo un poco más rápido que $\log(n)$; aproximadamente al$n$$ne\left(1-\frac{1}{\log(n)}\right)$. En cada uno de los ciclos, el logaritmo de la densidad, $\log\left(n-\frac{n}{\log(n)}\right)+O\left(\frac{1}{n}\right)$, aumenta casi linealmente por $1$. Por lo tanto, la densidad de $\{\log(\log(n!))\}$ es proporcional a $e^x$, e $\frac{e^x}{e-1}$ es normalizado a tener peso total $1$.

Densidad De Detalles:

Deje $I_n=\{k\in\mathbb{Z}:n-1<\log(\log(k!))\le n\}$. La densidad aproximada aquí es la función de $\phi:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$, de modo que $$ \int_a^b\phi(x)\;\mathrm{d}x=\lim_{n\to\infty}\left.\izquierda|\{k\in\mathbb{Z}:n-1+a<\log(\log(k!))\le n-1+b\}\right|\medio/\left|I_n\right|\right. $$ Dentro de un determinado $I_n$ esta densidad es aproximadamente proporcional al recíproco de la distancia entre el$\log(\log((k-1)!))$$\log(\log(k!))$,$k-\frac{k}{\log(k)}+O(1)$. Para $k\in I_n$, vamos a $x=\log(\log(k!))-n+1=\log(k)+\log(\log(k))-n+1+O\left(\frac{1}{\log(k)}\right)$. Entonces $$ k=\frac{e^{x+n-1+O(1/(x+n))}}{(x+n-1)^{1-1/(x+n)}}=\frac{e^{n-1+O(1/(x+n))}}{(x+n-1)^{1-1/(x+n)}}e^x $$ Por lo tanto, en términos de $x$, la densidad es $$ k-\frac{k}{\log(k)}+O(1)=\frac{e^{n-1+O(1/(x+n))}}{(x+n-1)^{1-1/(x+n)}}e^x $$ Como $n\to\infty$, el coeficiente de $e^x$ tiende hacia la constancia. La normalización de este modo que la integral sobre la $[0,1]$$1$, obtenemos $\phi(x)=\frac{e^x}{e-1}$.

Podemos obtener la misma densidad, si tenemos en cuenta $\displaystyle\lim_{N\to\infty} \bigcup_{n\le N} I_n$. Sin embargo, si usamos un parcial $I_N$, el hecho de que $|I_N|$ es de aproximadamente $(e-1)\left|\bigcup_{n<N} I_n\right|$ causas del mal comportamiento.

Por lo tanto, las partes fraccionarias de $\log(\log(n!))$ son densos en $[0,1]$, pero no se encuentran uniformemente distribuidos.

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Los gráficos

En $I_{10}$, los recuentos en cada intervalo de tamaño de $0.01$

En $I_{11}$, los recuentos en cada intervalo de tamaño de $0.01$

En $I_{12}$, los recuentos en cada intervalo de tamaño de $0.01$

En $I_{13}$, los recuentos en cada intervalo de tamaño de $0.01$

Así como se describe anteriormente, en cada una de las $I_n$, la densidad es $\frac{e^x}{e-1}$. Sin embargo, desde la cuenta en $I_{n+1}$ son aproximadamente $e$ los tiempos de la cuenta en $I_n$, el panorama es diferente si no consideramos completa de los intervalos de $I_n$:

El salto tiene una proporción de alrededor de $e\left(1-\frac1{\log(n)}\right)$ desde $\{\log(\log(n!))\}$ ciclos a través de$[0,1]$$n$$ne\left(1-\frac1{\log(n)}\right)$, como se mencionó anteriormente.

Answer 3

Una (muy débil), la versión de Stirling aproximación dice que $n!=n^{n+o(n)}$, por lo tanto $\log\log(n!)=\log(n\log n)+o(1)$. Si dos secuencias de $(a_n)$ $(b_n)$ son tales que $a_n\to\infty$, $b_n\to\infty$, y $a_n-b_n=o(1)$, la limitación de las distribuciones de $\{a_n\}$ $\{b_n\}$ son los mismos (por supuesto, uno debe probar esto) por lo tanto, a partir de ahora, nos fijamos en la distribución asintótica de $x_n=\{\log(n\log n)\}$.

Para todos no negativos $x$, llame a $n(x)$ el entero más pequeño tal que $n(x)\log n(x)\geqslant\mathrm e^x$. Fix$x$$(0,1)$. El conjunto de números enteros $n$ de manera tal que la parte entera de la $\log(n\log n)$$k$$n(k+1)-n(k)$. Entre estos, $n(k+x)-n(k)$ son tales que $x_n\leqslant x$. Por lo tanto la proporción de números enteros $n$ $[n(k),n(k+1)-1]$ tal que $x_n\leqslant x$ es $$ F_k(x)=\frac{n(k+x)-n(k)}{n(k+1)-n(k)}. $$ Aquí es un resultado: $F_k(x)\to F^0(x)$ al $k\to\infty$, con $$ F^0(x)=\frac{\mathrm e^x-1}{\mathrm e-1}=\int\limits_0^xf^0(y)\mathrm dy,\quad f^0(x)=\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e-1}. $$ Este (que también debe ser probado) implica que la proporción de números enteros $n\leqslant n(k)$ tal que $x_n\leqslant x$ converge a $F^0(x)$ al $k\to\infty$. En este sentido, la secuencia de término general $\{x_n\}$ y la sucesión de término general $\{\log\log n!\}$ ambos siguen la distribución de la densidad de $f^0$$(0,1)$.

Sin embargo, nótese que este resultado no se basa en la habitual versión de la densidad de un subconjunto $A$ de los enteros, que se define como el límite (si existe) de la secuencia $$ d_n(A)=\frac1n\sum\limits_{k=1}^n\mathbf 1_{k\in A}. $$ Considerando el conjunto $A(x)$ de los enteros $n$ tal que $\{x_n\}\leqslant x$, hemos demostrado que la $d_{n(k)}(A(x))\to F^0(x)$ al $k\to\infty$ pero $(d_n(A(x))$ diverge (excepto para$x=0$$x=1$), ya que por ejemplo, $$ d_{n(k+x)}\\mathrm e^{1-x} F^0(x)>F^0(x). $$ Por el camino, se puede demostrar que $F^0(x)$ $F^x(x)=\mathrm e^{1-x} F^0(x)$ son la baja y la alta densidad de $A(x)$ en el sentido de que $$ F^0(x)=\liminf d_n(a(x))<\limsup d_n(a(x))=F^x(x). $$ Volviendo a nuestro problema, uno podría muy plausiblemente definir la densidad de $\{x_n\}$ mediante la fijación de un número real $\alpha$, teniendo en cuenta la proporción de números enteros $n\leqslant n(k+\alpha)$ tal que $x_n\leqslant x$ y el límite de $F^\alpha(x)$ de estas proporciones al $k\to\infty$. Sucede que este límite $F^\alpha(x)$ existe para cada $x$ y sugiere que la densidad de la función $f^\alpha$ tal que $$ F^\alpha(x)=\int\limits_0^xf^\alpha(y)\mathrm dy. $$ Por lo tanto, cada una de las $f^\alpha$ es un buen candidato para ser el asintótica de la densidad de la sucesión con término general $\{\log\log(n!)\}$.

Nota Como se dijo en los comentarios, la ley de Benford rendimientos similares fenómenos oscilatorios. Por supuesto, los procedimientos desarrollados en el caso de la ley de Benford para escapar de la problemática que hemos descrito anteriormente puede ser aplicado para el presente problema así.

Otros, más avanzados, las palabras claves para el lector interesado se divergentes de la serie o de la suma de los métodos, ver aquí o en la versión en francés aquí que parece mencionar más referencias.