Cardinalidad del conjunto de todas las funciones en todas partes discontinuas

Question

La pregunta es encontrar la cardinalidad del conjunto de todas las funciones reales de variable real con discontinuidades en todas partes.

Mi intuición me dice que hay $2^c$ funciones tales, pero no puedo encontrar una inyección del conjunto de todas las funciones al conjunto de funciones con discontinuidades en todas partes.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Aquí, $c$ denota la cardinalidad del continuo (por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de todos los números reales).

Answer 1

Su intuición es correcta. Aquí hay una forma de demostrarlo:

Escribe $\mathbb{Q}$ como la unión disjunta de dos conjuntos densos $A, B$ (por ejemplo, toma $A$ como los racionales diádicos y $B=\mathbb{Q}\setminus A$). Entonces:

Cualquier función $f$ que satisfaga $f(a)=1$ para $a\in A$, $f(b)=0$ para $b\in B$ es discontinua en todas partes.

Entonces, ¿cuántas funciones de este tipo existen? Bueno, no hay restricciones sobre el comportamiento de $f$ en las entradas irracionales, así que tenemos:

El número de funciones discontinuas en todas partes es al menos el número de funciones de los irracionales a los reales.

Ahora, usando el hecho de que los irracionales tienen cardinalidad $c$, ¿ves cómo terminar la demostración?

Answer 2

Dado un subconjunto $A$ de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, puedo producir una función única que es discontinua en todas partes: es decir, la función que es $0$ en $\mathbb{Q}$, $1$ en $A$, y $-1$ en todas partes.

Por lo tanto, hay al menos tantas funciones discontinuas en todas partes como subconjuntos del conjunto de números reales de tamaño continuo $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

Answer 3

Comenzamos con la función base 13 de Conway $c $ (cuyo rango en cualquier intervalo es todo $\mathbb R $), que es en todas partes discontinua, y observamos que si $f $ solo toma valores $0$ y $1$, entonces $c+f $ es nuevamente en todas partes discontinua (ya que su rango en cualquier intervalo es ilimitado). Ahora notamos que hay $2^\mathfrak c $ tales funciones $f $: las funciones características de subconjuntos de $\mathbb R $. Dado que esta es una cota superior (siendo el número total de funciones de $\mathbb R $ a sí mismo), hemos terminado.

Answer 4

Aquí hay un mapeo completamente constructivo que se puede demostrar fácilmente que tiene la propiedad deseada.

Para cada función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, sea $g(x) = \tanh(f(x)) + \cases{1 & si $x\in\mathbb{Q}$ \\ -1 & de lo contrario}$ para cada $x \in \mathbb{R}$. Entonces $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g$ es discontinuo en todas partes.

Answer 5

Aquí hay una idea simple. Consideremos el conjunto $K$ de funciones $f$ tales que $f=0$ en $\mathbb Q$ y $f\geq1$ en $\mathbb R\setminus \mathbb Q.

Las funciones en $K$ están determinadas por sus valores en los irracionales, por lo que la cardinalidad de $K$ coincide con la del conjunto de todas las funciones $\mathbb R\to \mathbb R.