La cuestión es encontrar la cardinalidad del conjunto de todas las funciones de variable real discontinuas en todas partes.
Mi intuición me dice que hay $2^c$ tales funciones, pero no puedo encontrar una inyección desde el conjunto de todas las funciones al conjunto de funciones discontinuas en todas partes.
Se agradecería cualquier ayuda.
$c$ aquí denota la cardinalidad del continuo (por ejemplo, la cardinalidad del conjunto de todos los números reales).
Su intuición es correcta. He aquí una forma de demostrarlo:
Escriba $\mathbb{Q}$ como la unión disjunta de dos conjuntos densos $A, B$ (por ejemplo, tomar $A$ para ser los racionales diádicos y $B=\mathbb{Q}\setminus A$ ). Entonces:
Cualquier función $f$ Satisfaciendo a $f(a)=1$ para $a\in A$ , $f(b)=0$ para $b\in B$ es discontinua en todas partes.
¿Cuántas funciones de este tipo hay? Bueno, no hay ninguna restricción en el comportamiento de $f$ en entradas irracionales, por lo que tenemos:
El número de funciones discontinuas en todas partes es al menos el número de funciones de los irracionales a los reales.
Ahora usando el hecho de que los irracionales tienen cardinalidad $c$ ¿ves cómo terminar la prueba?
Dado un subconjunto $A$ de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ puedo producir una única función que es discontinua en todas partes: a saber, la función que es $0$ en $\mathbb{Q}$ , $1$ en $A$ y $-1$ en todos los demás lugares.
Por tanto, hay al menos tantas funciones discontinuas en todas partes como subconjuntos del tamaño del continuo $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ .
Comienza con la función base 13 de Conway $c $ (cuyo rango en cualquier intervalo es todo $\mathbb R $ ), que es discontinua en todas partes, y observe que si $f $ sólo toma valores $0$ y $1$ entonces $c+f $ es de nuevo discontinua en todas partes (ya que su rango en cualquier intervalo es ilimitado). Obsérvese ahora que hay $2^\mathfrak c $ dichas funciones $f $ las funciones características de subconjuntos de $\mathbb R $ . Dado que se trata de un límite superior (siendo el número total de funciones de $\mathbb R $ a sí mismo), hemos terminado.
Aquí hay una completamente constructivo mapeo que es fácil de probar que tiene la propiedad deseada.
Para cada función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , dejemos que $g(x) = \tanh(f(x)) + \cases{1 & if $ x \in\mathbb {Q} $ \\ -1 & otherwise}$ para cada $x \in \mathbb{R}$ . Entonces $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g$ es discontinua en todas partes.
He aquí una idea sencilla. Considere el conjunto $K$ de las funciones $f$ tal que $f=0$ en $\mathbb Q$ y $f\geq1$ en $\mathbb R\setminus \mathbb Q$ .
Las funciones en $K$ están determinados por sus valores en los irracionales, por lo que la cardinalidad de $K$ coincide con la del conjunto de todas las funciones $\mathbb R\to \mathbb R$ .
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