Prueba de que $\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}$ $0$

Question

Como se indica en el título, estoy tratando de demostrar que la secuencia de $\{a_n\}$ definido por:

$$a_n=\frac{n!}{n^n}$$

Converge a cero. Que es: $$\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0$$

Por ejemplo, yo estaba pensando que para que una lo suficientemente grande $n$: $$a_n=\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{1}{n}= \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-2}{n}\cdots\frac{1}{n}$$ A continuación, estos $n-2$ factores $$\frac{n-1}{n}, \frac{n-2}{n}, \frac{n-3}{n},\cdots,\frac{2}{n}$$ son todos los menor (o igual) que la primera, entonces: $$a_n\le\Bigl(\frac{n-1}{n}\Bigr)^{n-2}\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)$$ Ahora, desde la $\frac{n-1}{n}\le1$, podemos afirmar que: $$a_n\le\frac{1}{n}$$ que al instante se prueba lo que yo quería por apretar la secuencia entre el $0$.
No estoy totalmente convencido de que con este argumento,y tengo la sensación de que debe haber algún error o algo que me estoy dando por sentado. Me encantaría que algunos comentarios o incluso algunas otras pruebas para ello.
Preferiblemente, utilizando sólo manipulaciones algebraicas o cálculo de los resultados.

Answer 1

Todo se ve bien para mí. Es difícil responder a sus inquietudes cuando tengo ningún conocimiento específico en cuanto a lo que le molesta. Tal vez la presentación de su prueba en una línea podría ayudar?

$$a_n = \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \ldots \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n} \le 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \to 0.$$

Tal vez su preocupación se refiere a la expansión del producto, el número de términos aumenta con $n$? Tal vez te estás conectando con el paradójico de la naturaleza de las sumas de Riemann, añadiendo $0$ "infinidad de veces" para obtener un número distinto de cero? Esto no es aplicable aquí. La prueba muestra que, en cada paso (cuando hay un número finito de términos), el resultado total de los productos está limitada anteriormente por $\frac{1}{n}$. No hay nada malo con la prueba.

Como una alternativa de la prueba, usted puede mostrar esto es para mostrar la infinita serie de $\sum_n a_n$ converge, por medio de la prueba de razón. Considerar, $$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1)! n^n}{n! (n + 1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} \to \frac{1}{e} < 1.$$ Por la prueba de razón de $\sum_n a_n$ converge, y por lo tanto, por la divergencia de la prueba, $a_n \to 0$.