Mi libro dice
Si $X$ es compacto, entonces $w(X) \leq |X|$.
Esto me lleva a preguntarme, ¿hay un buen ejemplo de un espacio topológico (no compact) donde tiene $w(x) > |X|$?
El peso de un espacio topológico es la cardinalidad menor de la base de la topología.
El peso máximo de un % de espacio $X$es $2^{|X|}$ y en esta respuesta doy algunos ejemplos (con pruebas) de los espacios que cuenta esta máxima. Por ejemplo, un subconjunto denso contable de $\{0,1\}^{\mathbb{R}}$ en la topología producto tiene peso $|\mathbb{R}|$.
El limite $w(X) \le |X|$ para espacios compactos sigue de % igualdad $nw(X) =w(X)$espacios (localmente) compacto (y también es válido para espacios de metrisable y se puede pedir), tantos ejemplos estándar no funcionan.
Creo que el club genera la topología en $\omega_1$ es un ejemplo (un conjunto es abierto en esta topología el fib es una unión de conjuntos que son ilimitados y cerrado en el orden de la topología - este hecho se forma una topología, desde la intersección de los dos clubes es un club). Dado cualquier $\omega_1$-secuencia de bloques abiertos $C_\eta$, que se puede construir un club (de ahí abierto) conjunto que no contiene ninguna de ellas, de la siguiente manera:
Comenzamos en la etapa de $0$$D_0=\emptyset$.
En la etapa de $\alpha+1$, recoger algunas $\beta\in C_\alpha$ mayor que $\sup(D_\alpha)$, y deje $D_{\alpha+1}=D_\alpha\cup\{\beta\}$ (así que ya que estamos añadiendo más grande ordinales, los mantendremos $\beta$ fuera de el club estamos construyendo). Esto es posible desde la $C_\alpha$, siendo una unión de clubes, es ilimitado.
En la etapa de $\lambda$ límite, vamos a $D_\lambda=(\bigcup_{\alpha<\lambda} D_\alpha)\cup\{\sup(\bigcup_{\alpha<\lambda} D_\alpha)\}$.
Vamos $D=\bigcup_{\eta<\omega_1} D_\eta$. $D$ es el club, por lo tanto abierto, y no contiene ninguna de las $C_\eta$s. Por lo $\{C_\eta:\eta<\omega_1\}$ no constituye una base para el club generado por la topología en $\omega_1$.
Vale la pena señalar que este argumento se hace uso de un poco de elección: en el sucesor de los pasos de nuestra construcción, estamos asumiendo que hay, de hecho, los números ordinales más grande que $\sup(D_\alpha)$. Para ello se utiliza el hecho de que $\omega_1$ no es un contable de la unión de conjuntos contables, que, sorprendentemente, no es demostrable en ZF solos. Curiosamente, ZF hace demostrar que $\omega_2$ no es un contable de la unión de conjuntos contables. Así que es bueno.
EDIT: Como Asaf puntos, si $\omega_1$ ha contables cofinality, a continuación, "club" en realidad no tiene sentido (cada singleton ahora es la intersección de los dos clubes, por lo que la topología discreta).
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