Variante de la paradoja del niño o niña

Question

Aquí es interesante la pregunta de mi amigo:

Usted está invitado a una fiesta de la familia. Un Niño abre la puerta para usted. Allí son dos niños de allí. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño abre la puerta para la próxima vez?

Esta es mi solución:

$$P(\text{boy second time | boy first time}) = \frac{P(\text{boy both time)}}{P(\text{boy first time)}}$$ $$=\frac{1/3+1/3*1/2*1/2+1/3*1/2*1/2}{1/3+1/3*1/2+1/3*1/2}=3/4$$

El $1/3$ proviene del hecho de que, dado que tienen un niño ya por lo que la combinación sólo puede ser {niño, niña}, {niña, niño}, {chico, chico}. El 1/2 viene de por cada vez que hay un 1/2 probabilidad de que un niño va a abrir la puerta si no hay un chico y una chica.

Es mi cálculo correcto? Yo no se siente seguro sobre el 1/3 argumento.

Editado: @Rolf propuso otro punto que en realidad la probabilidad de que dos niños y un niño/una niña debe ser de 1/2, 1/3 no cada uno. Editado de nuevo: en Realidad hay dos enfoques, como se muestra a continuación. La clave es si se asume que el anterior o no en el cálculo.

Answer 1

Definitivamente es un chico, así que la mitad de las posibilidades que tiene una probabilidad de uno:

$$\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$$

Suponiendo la misma oportunidad de chico o chica, la otra mitad tendrá la misma oportunidad de ser un niño:

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

Agrega:

$$\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}=\mathbf{\frac{3}{4}}$$

Hecho.

Answer 2

Supongamos que sabemos que habrá dos niños en la fiesta, y hacemos la muy dudosa hipótesis de que cada uno tiene la misma probabilidad de ser niño o niña, y cada vez que alguien abre la puerta es la misma probabilidad de ser cada uno de los dos niños, independiente de que se abre la puerta en otras ocasiones.

Con una probabilidad de $1/4$ tanto los niños son niños, y la puerta se abre por un niño de dos tiempos.

Con una probabilidad de $1/4$ son niñas, y la puerta es abierta por una niña de dos veces.

Con una probabilidad de $1/2$ uno es un niño y una niña, y los abrelatas de la puerta tienen la misma probabilidad de ser (niño,muchacho), (niño,niña), (niña,niño), (chica,chica).

Entonces

$$ \frac{P(\text{boy both times})}{P(\text{boy first time})} = \frac{(1/4) \cdot 1 + (1/2) \cdot (1/4) + (1/4) \cdot 0}{(1/4) \cdot 1 + (1/2) \cdot (1/2) + (1/4) \cdot 0} = \frac{3}{4}$$

Answer 3

Un chico abrió la puerta la primera vez, pero se nos dice que hay dos niños (y estamos suponiendo que el muchacho es uno de los dos). Suponiendo que hay una oportunidad igual que el otro niño es un niño o una niña, que significa que hay también una oportunidad igual para la familia, para ser un chico de familia o chico-chica hogar. Así, el espacio muestral es BB o BG con la misma probabilidad. Por lo tanto, un niño de abrir la puerta en cualquier momento, es

$$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$$

Así que ... @James ... tienes la respuesta correcta ... pero el mal método. De hecho, cometido dos errores. El primer error fue el mismo que me hizo originalmente (ver el enlace a mi respuesta original a continuación) que con un niño de la apertura de la puerta no sería una $\frac{1}{3}$ de posibilidades de que no hay dos niños y una $\frac{2}{3}$ de probabilidad de no ser un niño. No, que realmente es $\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$. El segundo error es el uso de ese nuevo espacio muestral, que se basa en el hecho de que un chico abrió la puerta por primera vez, para calcular la probabilidad de un niño de abrir la puerta la primera vez! No, si se calculan de esta manera, usted no debe realizar ninguna suposición a todos y por lo tanto tiene un espacio muestral de BB, BG, GB, y GG. .. esto es lo que Robert hizo en su respuesta.

Original (incorrecto) respuesta

Answer 4

Este es un clásico underspecified problema.

Usted está invitado a una fiesta de la familia. Un Niño abre la puerta para usted. Hay dos niños de allí. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño abre la puerta para que la próxima vez?

Podemos hacer muchas series de supuestos acerca de los hechos que no se mencionan, y obtener respuestas diferentes.

Como un ejemplo, ¿y si asumimos que vivimos en una isla donde no hay más niñas. Entonces la probabilidad próxima vez que se abre por un niño es claramente el 100%.

Lo que si asumimos que los niños siempre se alternan los turnos de apertura de puertas, y cada hijo tiene un 50% de probabilidades de ser un niño o una niña. A continuación, el probabilty es de 50%.

Si suponemos una al azar niño abre la puerta, que los niños son al azar a los niños o niñas, entonces la probabilidad es del 75%.

Si asumimos que, si hay dos niños, ni se abre la puerta y en lugar de un adulto, y si hay un chico y una chica se turnan, entonces la probabilidad es de 0%.

Así que no especificados criterios acerca de cómo la puerta es el elegido para ser abierto y la distribución de los niños y de cómo interactúan los permisos de la probabilidad de estar en cualquier lugar de 0% a 100%.

Este es el mismo problema que el clásico de Monte Hall problema: hay hipótesis razonables que se puede establecer la respuesta en cualquier lugar. La gente elige algunos de ellos consideran razonables y llegar a una conclusión con ellos.

Ahora, en una prueba, que acababa de respuesta del 75% y el estado de sus supuestos directamente, a continuación, sacar conclusiones a partir de estos supuestos. Pero que es una prueba de toma de estrategia, no una verdad matemática.

Suponiendo que cada niño es al azar uno de los sexos.

Suponga que un azar niño siempre abre la puerta.

      BB   BG   GB   GG
BB   100%  0%   0%   0%
BG    25%  25%  25%  25%
GB    25%  25%  25%  25%
GG    0%   0%   0%  100%

a la izquierda está el género de los dos niños. Cada una de las filas tiene la misma probabilidad. Simplemente se podría dividir cada probabilidad por 4, pero un paso posterior hace que no se requiere como vamos a normalizar todos modos.

En la parte superior es la que se abre la puerta de 1er y segundo tiempo. En el medio está la posibilidad de que esto ocurra.

Ahora podemos eliminar todos los casos en que un niño no abrir la aplicación por primera vez:

      BB   BG  
BB   100%  0%  
BG    25%  25% 
GB    25%  25% 

Ahora se suman los porcentajes:

      BB   BG
     150%  50%

y normalizar:

      BB   BG
      75%  25%

El 75% de probabilidades de que un niño abre la puerta el 2do tiempo.

---

Si prefiere las matemáticas, se puede utilizar de Bayes el teorema de. Aquí están las iniciales de las probabilidades (mismo gráfico que el anterior, excepto dividido por 4):

      BB   BG   GB   GG
BB    1/4   0    0    0
BG    1/16 1/16 1/16 1/16
GB    1/16 1/16 1/16 1/16
GG    0    0    0    1/4 

ahora queremos que la probabilidad de boy boy dado de chico, o:

P(BB|BX) = P(BX|BB) * P(BB) / P(BX)

P(BB|BX) = 100% * (3/8) / (1/2)
= 75%

Alternativamente, eliminar los casos en los que un niño no abrir la primera puerta:

      BB   BG  
BB    1/4   0  
BG    1/16 1/16
GB    1/16 1/16
GG    0    0   
---------------
      3/8  1/8  = 1/2

El dar es P(XB|BX) = (3/8)/(1/2) = 3/4

Answer 5

Pienso en lo diferente. La próxima vez, la posibilidad de que el segundo chico (no importa su sexo) abre puerta es $P(second) = \frac{1}{2}$.

Posibilidad de segundo cabrito ser chica es $P(girl) = \frac{1}{2}$.

Por lo tanto, tienes oportunidad $P(second) * P(girl) = \frac{1}{2} * \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ chica abre la puerta. Por lo tanto $P = 1 - P(second) * P(girl) = \frac{3}{4}$