¿Cuál es realmente el objetivo de $i$ ?

Question

Este año hemos vuelto a hablar de los números imaginarios y nos hemos hecho esta pregunta en clase, pero nadie ha podido dar una respuesta clara. Así que si alguien puede decirme la verdadera razón por la que tenemos números imaginarios sería genial :)

Answer 1

Históricamente, los números imaginarios y complejos se introdujeron para la resolución de la ecuación cúbica: en el caso de tres raíces reales, no se puede prescindir de una excursión en los números complejos, ¡aunque los resultados finales sean reales!

Pero una razón más profunda es el Teorema Fundamental del Álgebra, que afirma que todo polinomio tiene al menos una raíz: para que sea cierto, hay que admitir también raíces complejas. Por extraño que parezca, la simplicidad del teorema es tan poderosa que los matemáticos prefieren aceptar los números complejos antes que abandonar el teorema fundamental. Esto hace que el conjunto de números complejos $\mathbb C$ un dominio más natural que $\mathbb R$ para las operaciones algebraicas.

Como se verá más adelante, los números complejos permiten numerosos atajos en algunos cálculos y la teoría de las funciones complejas resulta ser rica y útil.

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A modo de ilustración, la fórmula de Euler unifica las funciones exponenciales y trigonométricas:

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$$

Como aplicación, considere

$$(e^{ix})^3=(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3x-3\cos x\sin^2x+i(3\cos^2x\sin x-\sin^3x)\\ =e^{i3x}=\cos 3x+i\sin 3x.$$

Esto establece de una sola vez las dos fórmulas

$$\cos 3x=\cos^3x-3\cos x\sin^2x,\\\sin3x=3\cos^2x\sin x-\sin^3x$$

que son más dolorosos de conseguir por otros medios.

Answer 2

Los números reales que están familiarizados con (positivos, negativos y el cero) son incompletos. Ellos son parte de un sistema mayor, el de los números complejos, y muchos temas que son matemáticamente extraño o desconcertante quedado claro cuando se ve con el contexto completo. Muchos problemas difíciles convertido en fácil y muchas imposible que los problemas se pueden resolver.

Aquí está un breve ejemplo.

Para muchas de las razones que pasan mucho tiempo al estudio de ecuaciones polinómicas. Por ejemplo, $x^2+x-6=0$ (esta es una ecuación de la "2º grado", porque el mayor poder de $x$$x^2$) o $23x^5-12x^3+x+127 = 0$ (esta es una ecuación de la "5to grado"). Para las ecuaciones de segundo grado y superior, no puede haber más de una solución. Por ejemplo, $x^2+x-6=0$ es resuelto por tanto $x=2$ y $x=-3$.

A veces, sin embargo, estas ecuaciones parecen no tener solución. Por ejemplo, $x^2+4x+5=0$ no tiene soluciones. Uno puede preguntarse cómo saber cuando una ecuación tiene soluciones, y cuántos tiene. No es difícil, por ejemplo, para demostrar que cualquier ecuación de impar grado debe tener al menos una solución. Pero es difícil avanzar más allá de ese punto.

Si se mira el conjunto de contexto, que es el de los números complejos, la respuesta es bastante simple. Una ecuación de la $n$th grado siempre tiene una solución, y de hecho siempre lo ha hecho exactamente $n$ soluciones! Por ejemplo, la ecuación de $x^2+4x+5=0$ mencioné antes como después de haber "ninguna solución" es resuelto por $-2+i$ y $-2-i$.

Los polinomios no importa que usted piensa que los números complejos son extraños. Ellos están haciendo su propia cosa, y para ellos, los números complejos se lo que es importante y que los números reales son sólo un poco raro provincia. Si queremos lidiar con polinomios, tenemos que visitar en el lugar donde viven. Este es el de los números complejos.

Aquí es un ejemplo más.

Hay una cierta serie infinita, $$1+x^2+x^4+x^6+\ldots$$ which (for reasons I don't expect you to appreciate right now) looks as though it should add up to $$\frac1{1-x^2}.$$ That is, you pick $x$, and then as you add up more and more terms of the series, the sum gets closer and closer to $\frac1{1-x^2}$. For instance, $$1 + \left(\frac13\right)^2 + \left(\frac13\right)^4 + \left(\frac13\right)^6 = 1.12483…$$ which is already quite close to $\frac1{1-\left(\frac13\right)^2} = \frac98 = 1.125$, and the following terms of the series make up the missing difference. You should try this yourself with $\frac12$.

Así que la serie sumando la forma en la que esperamos-si el valor absoluto de a $x$ es de menos de $1$. Pero fuera de ese rango no funciona. (Trate de que para algunos $x$ más grande que la de $1$; es obvio que es completamente erróneo.) ¿Por qué no?

Esto no es sólo una pregunta ociosa. Este tipo de serie infinita es una parte importante de un método para resolver las ecuaciones diferenciales, que son cruciales para muchos problemas de la física, la arquitectura y la ingeniería. Tenemos que entender cuando este método funciona y cuando no, para que nuestros edificios no se caen.

La razón por la que $\frac1{1-x^2}$ falla al $x$ es demasiado grande es sutil, pero la causa básica es que el $\frac1{1-x^2}$ no está definido en $-1$ y a las $1$, ya que tendría que dividir por cero. Como usted se mueve más allá de los puntos indefinidos algo se rompe.

Usando los mismos métodos, podemos encontrar una serie infinita $$1-x^2+x^4-x^6+\ldots$$ that adds up to $$\frac1{1+x^2}.$$ This also works-but again, only if $x$ is between $-1$ and $1$. Why does it fail when $x$ is outside that range? The explanation of the previous paragraph doesn't make sense any more, because unlike $\frac1{1-x^2}$, the function $\frac1{1+x^2}$ is not undefined at $-1$ or at $1$. Es definido en todas partes, así que ¿por qué no el de la serie de trabajo en todas partes?

Para entender lo que realmente está pasando, usted tiene que mirar a los números complejos. Si pensamos en los números complejos como ser dispuestos en un plano, resulta que la serie de $\frac1{1-x^2}$ funciona para cualquier número complejo dentro de un círculo determinado. El círculo contiene no sólo los números reales, cuyo valor absoluto es menor que 1, pero todo el complejo de números cuyo valor absoluto es menor que 1. El círculo que pasa a través de $+1$$-1$, y el undefinedness de $\frac1{1-x^2}$ en esos dos puntos se echa a perder la serie en todas partes fuera de este círculo.

Y ahora el fracaso de la serie para $\frac1{1+x^2}$ sentido: la serie funciona en cualquier lugar dentro de ese mismo círculo. ¿Por qué romper ese círculo al $\frac1{1+x^2}$ está perfectamente definido a $1$ y a las $-1$? Porque el círculo también va a través de$i$$-i$, y en los puntos de $\frac1{1+x^2}$ es no bien definidos. Se rompe exactamente de la misma manera, por exactamente la misma razón!

Las dos funciones que se veía tan diferente en realidad son casi exactamente el mismo una vez que se mira en la imagen completa. Los números complejos son la totalidad de la imagen.

Answer 3

¿La verdadera razón? Suena como si quisieras una frase única que no hayas escuchado antes.

Saca el papel cuadriculado.

¿Qué pasa si sigues aplicando $i$ a $1$ ? es decir $\;i \times 1$ , $\;i \times (i \times 1)$ , $\;i \times (i \times (i \times 1))$ etc.

Aplicar $i$ a $1$ y se obtiene $i$ .
Aplicar $i$ a $i$ y se obtiene $-1$ .
Aplicar $i$ a $-1$ y se obtiene $-i$ .
Aplicar $i$ a $-i$ y se obtiene $+1$ .

Así que la aplicación repetida y se llega a ver $1 \mapsto i \mapsto -1 \mapsto -i \mapsto 1 \dots$

Ejercicio: ¿Qué pasa si sigues aplicando $i$ a $1 + i$ .

La verdadera razón de $i$ es que puedes girar las cosas en 90° usando el número multiplicación.

Las rotaciones no tienen nada de imaginario.

Answer 4

El verdadero objetivo es poder realizar operaciones matemáticas de forma ilimitada.

¿Por qué tener números negativos? Para poder restar: $2-3=-1$

¿Por qué tener números fraccionarios? Para poder dividir: $2\div 3=\frac{2}{2}$

¿Por qué tener números imaginarios? Para poder sacar raíces cuadradas: $\sqrt{-1}=i$ .

Resulta un pequeño milagro que con números imaginarios TODAS las ecuaciones algebraicas, por ejemplo $x^7+4x^6+3x^5+76x^4+14x^3+12x^2+89x+100=0$ tienen soluciones (posiblemente imaginarias).

El rango de aplicabilidad de las operaciones se amplía enormemente.

Answer 5

@Yves Daoust dio una gran respuesta en el campo algebraico y mostró lo poderoso que puede ser, así que no añadiré más al respecto.

Los números imaginarios, o complejos, en física.

En la física cuántica hay sistemas de superposición, digamos que tienes 2 estados, $A,B$ y digamos que $a$ es la probabilidad de que $A$ para ser el resultado $b$ es la probabilidad de $B$ para ser el resultado. Para ser más claros y seguir como está escrito en la realidad diremos $|A\rangle,|B\rangle$ en lugar de $A,B$ .

Ahora la posición final será $|\psi\rangle$ . Uno pensará que $|\psi\rangle=a|A\rangle+b|B\rangle$ pero en realidad la probabilidad es $a^2,b^2$ Así que también podemos decirlo como $|\psi\rangle=a|A\rangle-ib|B\rangle$ (porque $b^2=-(ib)^2$ )

¡Esto es TAN útil, piénsalo, este pequeño, que parece casi significado, mostrando como conexión entre la física cuántica y las ondas!

No me extenderé más en esto y en por qué es tan útil porque requiere un poco de conocimiento de la física.

Hay muchos números complejos en la física cuántica, aparentemente la física cuántica no tiene casi nada sin números complejos, por ejemplo La ecuación de Schrödinger: $i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)=\hat H \Psi(\mathbf{r},t)$ donde $\hbar$ es la constante reducida de Planck.

Puedo seguir, lee sobre física cuántica si esto te interesa