¿Puedo pedir siempre un juego de números contables

Question

Supongamos que tengo un subconjunto contable de los números reales $A$ . Entonces, como es contable, hay una función $f: \mathbb N \to A$ que es bijectivo. Esta función es, por supuesto, una secuencia, así que podemos escribir cada elemento $x$ de $A$ como $x_i = f(i)$ . Así que $A= \{ x_i | i \in \mathbb N \}$ . Por supuesto que no dos $x_i$ y $x_j$ son los mismos.

Ahora puedo venir y reordenar el $x_i$ (en lugar de nombrar a la $x \in A$ como $x_i$ Puedo nombrarlo $x_j$ ) de tal manera que están disminuyendo $$x_1 >x_2>... $$

(¿Trivial??) Pregunta: ¿PUEDO hacer eso bien? Parece correcto, ya que cualquier $x_i$ y $x_j$ son diferentes, entonces uno es más grande que el otro, por lo que puedo hacer esta comparación con todos ellos y ordenarlos.

Si ese es el caso, entonces toma como $A= \Bbb Q \cap (0,1)$ por ejemplo. Lo que dijimos anteriormente es que desde $A$ es contable, puedo escribir $A= \Bbb Q \cap (0,1)=\{ x_i | i \in \mathbb N \}$ con $x_1 >x_2>... $ .

Pero eso es absurdo, no hay mayor racionalidad en $(0,1)$ . Es tarde, ¿qué me estoy perdiendo?

EDITAR también suponen un caso en el que hay un mayor número como $A= \Bbb Q \cap (0,0.9]$ donde la mayor racionalidad es $0.9$ . Entonces podemos hacer $ 0.9=x_1 <x_2 <x_3<.. $ . No tenemos ni idea de lo que $x_2$ es, pero hay una racionalidad más cercana a $0.9$ que todos los demás??

Answer 1

" Pregunta: PUEDO hacerlo bien?"

En realidad, no. El orden "usual" (donde $a < b$ significa $b-a$ es positivo) no es lo que se denomina un "ordenamiento", es decir, un orden en el que siempre hay un elemento "menor" de todos los subconjuntos.

Usted ha demostrado que " $<$ " es no un bien ordenado como $ \mathbb Q \cap (0,1)$ no tiene un elemento menor o mayor. (Tampoco $ \mathbb Z$ o $ \mathbb Q$ ).

!!!!BUT!!!!!, ¡siempre existirá un "buen ordenamiento" de un conjunto contable! Simplemente no será " $>$ ".

De hecho, lo has demostrado. Deje que $x \prec y$ significa que $f^{-1}(x) < f^{-1}(y)$ . Entonces $ \prec $ " es un buen orden y el elemento "menor" es $x_1$ .

" $ \prec $ "tiene todas las propiedades de un "orden". (Exactamente uno de los $a \prec b$ o $b \prec a$ o $a = b$ son verdaderos; $a \prec b$ y $b \prec c \implies a \prec c$ ). Pero no significa lo que pensamos como "más grande" y "más pequeño". Significa nada más y nada menos que "viene antes en una lista". Lo cual es tan válido como lo es una base para el orden y "ser más pequeño".

Post-script (y tal vez más al grano):

"Parece correcto, ya que cualquier xi y xj son diferentes, entonces uno es más grande que el otro, así puedo hacer esta comparación con todos ellos y ordenarlos".

¡Ah!... buena pregunta. El problema con esto es que nunca terminas. Siempre puedes decir "He ordenado 5 billones de ellos y hasta ahora $x_{1,672,453,928}$ es menor y $x_{17}$ es el más grande" pero también tendrá que admitir "pero no puedo estar seguro de que sigan siendo el más grande y el más pequeño... Y yo... nunca estar seguro".

Inténtalo con $ \mathbb Z$ ". Podemos listar todos los números enteros en orden como $0, 1,-1,2,-2, 3,-3....$ .

Así que $1$ es más grande que $0$ así que mantén $1$ . $1$ es más grande que $-1$ así que mantén $1$ . $2$ es más grande que $1$ así que reemplace $1$ con $2$ . $2$ es más grande que $-2$ así que mantén $2$ . $3$ es más grande que $2$ así que reemplace $2$ con $3$ . $3$ es un bronceado más grande $-3$ así que..."

Ves como eso nunca terminará realmente y nunca conseguiremos un elemento más grande o más pequeño.

Post-Post-script: Note que un buen ordenamiento dice que todos los subconjuntos tendrán un menos elemento. En realidad no dice que tendrá un más grande elemento. Y "viene antes en una lista" hace conjuntos que hacer siempre tienen un primer elemento, pero no siempre tienen un último elemento.

Debería ser intuitivo, sin embargo, que cualquier axioma de definición que hagamos para un buen ordenamiento que siempre tenga un mínimo de elementos, podría hacer arbitrariamente un ordenamiento "perverso" que siempre tenga un más grande pero no necesariamente un elemento menor. Si " $ \prec $ " es un bien ordenado, entonces definiendo " $ \prec_ {ident}$ " como $a \prec_ {ident} b \iff b \prec a$ será, por supuesto, una orden perversa.

("orden perverso" y " $ \prec_ {ident}$ son términos que inventé y no son terminología matemática válida. Espero que eso haya quedado claro).

(Eso es probablemente mucho más de lo que pediste.)

Answer 2

$X = \mathbb {Q} \cap (0, 1)$ es un conjunto contable. Una enumeración explícita de este conjunto es $$x_1 = 1/2, \quad x_2 = 1/3, \quad x_3 = 2/3, \quad x_4 = 1/4, \quad x_5 = 3/4, \quad \ldots $$ Por lo tanto, podemos construir un orden total $<_X$ en el set $X$ como sigue: dados dos números $x_i$ y $x_j$ en $X$ escribimos $x_i <_X x_j$ siempre que $i < j$ .

Esto no corresponde a la orden habitual $<$ en los números reales, bajo los cuales no hay un elemento más pequeño en $X$ . Por otro lado $x_1 = 1/2$ es el elemento más pequeño del orden $<_X$ .

Adición : Me doy cuenta después de escribir esto que pediste una orden que tiene un elemento más grande, pero el argumento es el mismo, definiendo en su lugar $<_X$ por $x_i <_X x_j$ siempre que $i > j$ .

Answer 3

Siempre puedes hacerlo. Estás cometiendo un error cuando dices que no hay mayor racionalidad en $(0,1)$ . ¿Cuál es el error? No hay mayor racionalidad en (0,1) usando la relación de orden estándar. Este orden que estás definiendo, no es el estándar. Verás, por un buen orden, cada conjunto puede estar bien ordenado.

Answer 4

NO, no siempre se puede comparar entre un conjunto infinito de números y elegir el elemento más grande, luego el segundo elemento más grande, y así sucesivamente. Eso siempre está permitido cuando se tiene un conjunto finito, pero no se generaliza a los conjuntos infinitos (note que estoy hablando del ordenamiento estándar, puede ver otras respuestas sobre el ordenamiento no estándar).

Para cualquier conjunto countably infinito, a partir de la definición siempre se puede enumerar sus elementos como una secuencia $ a_1, a_2, a_3, \dots $ pero a menos que el mapa de $ \mathbb {N} $ se da, no sabemos explícitamente cuáles son los elementos o cómo es el ordenamiento.

Answer 5

Sí. Para cualquier conjunto contable $S$ existe un ordenamiento $ \prec $ en $S$ para el cual el conjunto ordenado $(S, \prec )$ tiene un elemento más grande.

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Si ese es el caso, entonces toma como $A= \Bbb Q \cap (0,1)$ por ejemplo. Lo que dijimos anteriormente es que desde $A$ es contable, puedo escribir $A= \Bbb Q \cap (0,1)=\{ x_i | i \in N \}$ con $x_1 >x_2>... $ .

Pero eso es absurdo, no hay mayor racionalidad en $(0,1)$ . Es tarde, ¿qué me estoy perdiendo?

Está bastante claro que $A$ tiene una gran racionalidad; es $x_1$ .

Lo que estás confundiendo es que estás usando la misma letra $A$ para tres cosas diferentes:

• El set de números racionales en $(0,1)$
• El conjunto ordenado de números racionales en $(0,1)$ con el pedido habitual
• El conjunto ordenado de números racionales en $(0,1)$ con el nuevo orden que has definido

Podrías preguntarte si cada uno de ellos tiene o no un elemento más grande. Para el tercero, la respuesta es sí. Para el segundo, la respuesta es no. Para el primero, la pregunta ni siquiera tiene sentido.

Pero ya que describe a los tres de la misma manera, tiene problemas para reconocer la diferencia.

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En la práctica, normalmente sólo consideramos el orden habitual, por lo que no hay confusión por la confluencia de los set de números racionales con el conjunto ordenado de números racionales con su orden habitual.

Sin embargo, tan pronto como se considere la idea de un diferente ordenando, este detalle se vuelve críticamente importante, ¡así que tienes que prestarle atención!