Es sabido que cada espacio topológico $X$ admite un Hausdorffization - que significa que cada espacio topológico puede "aproximarse" por el correspondiente espacio de Hausdorff único para que cada continua asignación de $X$ a un factores de espacio de Hausdorff únicamente a través de la Hausdorffization.
¿Para topológico espacio es posible conectarse en una forma canónica, es decir, encontrar un correspondiente conectado espacio con la propiedad que el anterior?
No, no es cierto. Considere la posibilidad de $X = \{0,1\}$ un conjunto con dos elementos, dotado de la topología discreta. Supongamos que hay conectado un espacio de $X'$ y un mapa continuo $i : X \to X'$ tal que para todos los espacios conectados $Y$ y continua para todos los mapas de $f : X \to Y$, no existe un único mapa $f' : X' \to Y$ tal que $f' \circ i = f$.
Entonces, en primer lugar quiero mostrar que la $i$ es inyectiva. Para esto considere el $f : X \to [0,1]$ la inclusión. Entonces existe un único mapa $f' : X' \to [0,1]$ tal que $f' \circ i = f$. Pero $f$ es inyectiva, por lo tanto lo es $f'$ (tenga en cuenta que si $i(0) = i(1)$,$f(i(0)) = f(i(1)) \implies 0 = 1$).
La próxima quiero mostrar que la $i$ es surjective. Deje $Y = \{a,b\}$ ser un conjunto con dos elementos, dotado de la topología trivial (el abierto sólo los conjuntos de $\varnothing$$Y$). Considere la posibilidad de $f : X \to Y$, $f(0) = a$, $f(1) = b$. A continuación, $f$ es continuo, por lo tanto, no existe un único mapa de $f' : X' \to Y$ tal que $f' \circ i = f$.
Ahora supongamos que al contrario que $i$ no surjective. Entonces me pueden encontrar dos diferentes continua mapas de $f' : X' \to Y$ tal que $f' \circ i = f$. O me pueden enviar todos los elementos de a$X' \setminus \{i(0), i(1)\}$$a$, o me los puede enviar a $b$, mientras que en ambos casos he mapa de $i(0) \mapsto a$$i(1) \mapsto b$. Eso es una contradicción, por lo tanto $i$ es surjective.
De ello se desprende que $i$ es bijective, y $X'$ tiene dos elementos, $i(0)$$i(1)$. Pero si yo considere de nuevo el $f : X \to [0,1]$ la inclusión, entonces me parece que $i(0)$ $i(1)$ deben estar separados por la apertura de los juegos (el preimages de, digamos, $[0,1/4)$ $(3/4,1]$ por la inducida por el mapa de $f' : X' \to [0,1]$). Por lo tanto $X'$ es realmente discretos, lo que es contradictorio con el que esté conectado.
Por lo que puedo contar, no.
Si te refieres a canonical, para la media de una izquierda adjunto a la plena inclusión de las categorías, en el sentido de que es dual a $\mathrm{Conn} \hookrightarrow \mathrm{Top}$, entonces se ha de preservar co-productos, que no pueden producirse por Qiaochu la respuesta aquí.
La idea es considerar una de dos puntos en el espacio, que es el subproducto de dos punto uno de los espacios en $\mathrm{Top}$, pero no hay ningún subproducto en la categoría de espacios conectados.
Usted puede ver aquí para una elaboración para el caso de la ruta de espacios conectados.
Si buscas en google "connectification de espacios topológicos" algunos documentos muestran discutiendo varias construcciones.
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