Mostrar que se intersecan las tres medianas de un triángulo

Question

Estoy trabajando a través de Paul Lockhart de las Mediciones. Es uno de los más atractivos y perspicaz introducción a la matemática elemental que he leído. En las primeras páginas, lo presenta como un simple reto: Demostrar que las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto (imagen de abajo). Él no ofrece ninguna respuesta, que creo que es el punto central de todo el libro. Me he encontrado con un argumento, pero no estoy seguro de si se sostiene. Puede usted por favor revise esta prueba, o señalar la falla? Gracias!

Prueba: poco a poco escala (contrato) el triángulo hacia abajo a un punto. Las tres esquinas del triángulo de la traza de las tres medianas del triángulo. Por lo tanto, las tres medianas se cortan en un punto.

Pasé algún tiempo pensando acerca de por qué exactamente las tres esquinas sería traza la mediana, y no alguna otra línea. La razón (creo) se encuentra en el lado opuesto a la esquina. Como que lado de contratos, en ambos extremos de la cara de manera uniforme reducir el tamaño, pero el punto medio de ese lado todavía se encuentra en la mediana.

Answer 1

Bueno, ya que he preguntado por las críticas, aquí está! (Ambos positivos y negativos).

En primer lugar, buen intento. Parece que tienes algo de la idea de derecho. Intuitivamente en efecto, parece que si haces lo que te dicen y "contrato" el triángulo hacia abajo a un punto, las esquinas de traza las medianas, y finalmente convergen en un solo punto, o algo así.

Ahora es el momento para las malas noticias; por desgracia, la intuición no es una prueba matemática de hacer. El problema con la prueba de ello es que en realidad no definen nada de lo que has dicho. ¿Qué significa que "poco a poco escala (contrato) el triángulo hacia abajo a un punto."? Intuitivamente entendemos, pero matemáticamente, no lo hacemos.

Seguir esta por afirmar algo acerca de las esquinas de seguimiento de las tres medianas del triángulo. Desafortunadamente esto es equivalente a afirmar lo que usted está tratando de demostrar - y es un no, no!

No voy a proveer de usted una prueba, que podría arruinar toda la diversión, pero lo principal es preguntarse a sí mismo "Si se lo digo a alguien, ¿tienen alguna otra opción que estar de acuerdo conmigo?". La respuesta a esa pregunta, para una adecuada prueba, es que no. No se puede estar en desacuerdo con una prueba. Sin embargo, en el ejemplo de arriba, que casi cualquiera puede, porque no es muy hermético suficiente. Espero que esta ayuda :-)

Answer 2

Los puntos medios de los tres lados de un triángulo se forma otro triángulo similar a la original, sino que escala por la mitad, la rotación de la mitad de la revolución, y su medianas son la mitad de las medianas del triángulo original. Realizar la operación de nuevo y el nuevo triángulo es escalado por una cuarta y tiene la misma orientación que el original, y su medianas son una cuarta parte de las medianas del triángulo original. Iterando este proceso indefinidamente reduce el triángulo hacia abajo a sólo un punto, el centro de gravedad, que es común a todos los de las medianas.

Creo que es válida la intuición, y que es importante, pero los detalles precisos necesitaba un trabajo. Espero que mi versión de la ayuda.

Answer 3

Prueba: Lentamente escala (contrato) el triángulo hacia abajo a un punto. Las tres esquinas del triángulo de la traza de las tres medianas del triángulo. Por lo tanto, las tres medianas se cortan en un punto.

Por favor no tome esto con dureza -- creo que es una muy buena idea. Pero otros no han sido lo suficientemente honesto: la idea de esta prueba no es correcta. Creo que hábilmente oculta esto, y parece ser correcta, pero si se intenta escribir los detalles, no llegaremos a ninguna parte con él.

El principal problema es que se puede decir "Lentamente escala (contrato) el triángulo hacia abajo a un punto." Pero ¿en qué punto? Escalado de un triángulo requiere que usted escoja un punto de reducirlo a, y mover los vértices hacia ese punto a una tasa uniforme.

La única respuesta a "¿qué punto" es "escala hasta el centroide del triángulo." Pero entonces, la prueba es circular: en orden a dar la escala argumento, ya tiene que saber que las tres líneas que todos pasan por el centroide.

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P: ¿no acabo de decir que para reducir la escala de la figura, y no especifique en qué punto estoy a escalar?

Usted podría, pero entonces no sería más claro lo que significa para las tres esquinas del triángulo a "seguimiento" de las líneas durante esta ampliación. Para trazar líneas, se debe avanzar hacia un punto determinado.

P: OK. A continuación, puede acabo de recoger un punto arbitrario a escala hacia abajo?

Si usted hace esto, entonces las líneas trazadas por los tres vértices del triángulo sería líneas arbitrarias, y no necesariamente las medianas del triángulo.

Q: ¿Qué si me definen el centroide de la primera (es decir, el promedio de las tres coordenadas de los vértices), y luego bajar a ese punto?

Esto va a funcionar, pero el siguiente paso (después de definir el centro de gravedad) será demostrar que las tres medianas pasar por el centroide. Y una vez que han demostrado que, la escala argumento se vuelve innecesaria, porque ya sabes que las tres medianas se cortan en un punto. La prueba ya está hecho.

P: ¿Cómo podría yo he visto, antes de entrar en este detalle, que esta prueba no iba a funcionar?

El mejor "heurística" la razón es que no está claro, a partir de la lectura de la prueba, los hechos que se utiliza la mediana de líneas. Parece que la prueba podría ser entendido por alguien que no sabe lo que es un "mediana". Por lo tanto, la prueba debe ser malo.

Answer 4

De un modo riguroso, usted puede probar que

En un triángulo $ABC$, la mediana de la a través de $A$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ tal que $[PAB]=[PAC]$.

Deje $X$ ser la intersección entre la mediana $m_A$ a través de $A$ y la mediana de la $m_B$ a través de $B$.
Desde $X\in m_A$, $[XCA]=[XAC]=[XAB]=[XBA]$.
Desde $X\in m_B$, $[XBA]=[XBC]=[XCB]$. Por transitividad de la $=$, $[XCA]=[XCB]$.
De ello se desprende que $X\in m_C$, de ahí que las medianas de un triángulo son siempre concurrentes.

Mediante la descripción de eje, las alturas y las bisectrices de un ángulo como loci usted puede diseñar fácilmente similares pruebas de la existencia y unicidad de la circuncentro, ortocentro y el incentro. Aquí es una extensión de la implementación de este truco:

1. La mediatriz de $AB$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ tal que $PA=PB$;
2. La bisectriz de un ángulo(s) de $\widehat{BAC}$ es (son) el lugar geométrico de los puntos $P$ tal que $d(P,AB)=d(P,AC)$;
3. La altitud a través de $A$ es el lugar geométrico de los puntos $P$ tal que $PB^2-PC^2=AB^2-AC^2$, o el eje radical de los círculos tener diámetros $AB,AC$.

^{Aquí $[PQR]$ representa el área de $PQR$ $d$ de la distancia Euclidiana, por supuesto.}

Answer 5

El triángulo $\triangle ABC$ saldo en un borde que va a lo largo de una mediana de $AD$ (donde $D$ es el punto medio de la $BC$) (la mediana divide cada paralelo a $BC$, así que si te pica el triángulo en finas rebanadas paralelas, cada uno de ellos equilibrio en la mediana, por lo que el triángulo como un conjunto de saldos). Eso significa que el centro de masa del triángulo debe estar en que la mediana. Pero luego, por el mismo argumento, el centro de masa debe también estar en cada una de las otras dos medianas así. Por lo que el centro de masa se encuentra en todos los tres isletas, y por lo tanto las medianas deben intersecan en un único punto.