¿Cuál es la relación entre la relatividad especial y la general?

Question

¿Cuál es la relación entre especial y relatividad general ? Según tengo entendido, la relatividad general no necesita la suposición de la constante de la velocidad de la luz. Se trata de la relación entre la masa y el espacio-tiempo y la gravedad. ¿Puede la relatividad general ser válida sin la relatividad especial?

Answer 1

Supongamos que empezamos por considerar Transformaciones galileanas Es decir, transformaciones entre observadores que se mueven a diferentes velocidades cuando éstas son muy inferiores a la velocidad de la luz. Diferentes observadores no estarán de acuerdo con las velocidades de los objetos, pero hay algunas cosas en las que estarán de acuerdo. En concreto, estarán de acuerdo en los tamaños de los objetos.

Supongamos que tengo una varilla metálica que en mi sistema de coordenadas tiene un extremo en el punto $(0,0,0)$ y el otro extremo en el punto $(dx,dy,dz)$ . La longitud de esta varilla se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras:

$$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 \tag{1} $$

Ahora puedes estar moviéndote con respecto a mí, así que no estaremos de acuerdo con la posición y la velocidad de la varilla, pero ambos estaremos de acuerdo con la longitud porque, bueno, es un trozo de metal, no cambia de tamaño sólo porque tú te muevas con respecto a mí. Así que la longitud de la varilla, $ds$ es un invariante es decir, es algo en lo que todos los observadores estarán de acuerdo.

Bien, pasemos a la Relatividad Especial. Lo que hace la Relatividad Especial es tratar el espacio y el tiempo juntos, de modo que la distancia entre dos puntos tiene que tener en cuenta también la diferencia de tiempo entre los puntos. Así que nuestra ecuación (1) se modifica para incluir el tiempo y se convierte en:

$$ ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \tag{2} $$

Obsérvese que nuestra nueva ecuación para la longitud $ds$ ahora incluye el tiempo, pero el tiempo tiene un signo menos. También multiplicamos el tiempo por una constante con las dimensiones de una velocidad para convertir el tiempo en una longitud. Al igual que antes, la cantidad $ds$ es una invariante, es decir, todos los observadores coinciden en ella independientemente de cómo se muevan unos respecto a otros. De hecho, damos a esta longitud del espaciotiempo un nombre especial: la llamamos longitud adecuada (o a veces el tiempo adecuado ).

A estas alturas te estarás preguntando de qué demonios estoy divagando, pero resulta que podemos derivar todas las cosas raras de la Relatividad Especial simplemente del requisito de que $ds$ sea un invariante. Si te interesa, lo repaso en ¿Cómo se deduce la contracción de Lorentz del intervalo invariante? .

De hecho, la ecuación para $ds$ es tan importante en la Relatividad Especial que tiene su propio nombre. Se llama Métrica de Minkowski . Y podemos utilizar esta métrica de Minkowski para demostrar que la velocidad de la luz debe ser la misma para todos los observadores. Esto lo hago en mi respuesta a Segundo postulado de la relatividad especial .

Así que a lo que hemos llegado es que el hecho de que la velocidad de la luz sea constante en SR es equivalente a la afirmación de que la métrica de Minkowski determina una cantidad invariante. Lo que hace la Relatividad General es generalizar la métrica de Minkowski, ecuación (2). Supongamos que reescribimos la ecuación (2) como

$$ ds^2 = \sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^3 \,g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu $$

donde utilizamos la notación $dt=dx^0$ , $dx=dx^1$ , $dy=dx^2$ y $dz=dx^3$ y $g$ es la matriz:

$$g=\left(\begin{matrix} -c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right)$$

Esta matriz $g$ se llama tensor métrico . Concretamente la matriz que he escrito arriba es el tensor métrico para el espaciotiempo plano, es decir El espaciotiempo de Minkowski .

En la Relatividad General esta matriz puede tener diferentes valores para sus entradas, y de hecho esos elementos pueden ser funciones de posición en lugar de constantes. Por ejemplo, el espaciotiempo alrededor de un agujero negro estático sin carga tiene un tensor métrico llamado Métrica de Schwarzschild :

$$g=\left(\begin{matrix} -c^2(1-\frac{r_s}{r}) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \end{matrix}\right)$$

(Menciono esto más que nada por decoración - para entender cómo trabajar con la métrica de Schwarzschild se necesita hacer un curso de RG)

En GR la métrica $g$ está relacionado con la distribución de materia y energía, y se obtiene resolviendo la Ecuaciones de Einstein (que no es una tarea para los débiles de corazón :-). La métrica de Minkowski es la solución que obtenemos cuando no hay materia ni energía presentes ${}^1$ .

Lo que quiero decir es que hay una secuencia sencilla que lleva desde la mecánica newtoniana cotidiana hasta la relatividad general. La primera ecuación que he escrito, la ecuación (1), es decir, el teorema de Pitágoras, es también una métrica: es la métrica para el espacio 3D plano. Al extenderla al espaciotiempo, ecuación (2), pasamos a la relatividad especial, y al extender la ecuación (2) a una forma más general del tensor métrico pasamos a la relatividad general. Así pues, la relatividad especial es una subconjunto de la Relatividad General, y la mecánica newtoniana es una subconjunto de la Relatividad Especial.

Para terminar, volvamos a la cuestión de la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es constante en la RS, así que ¿es constante en la RG? Y la respuesta es, bueno, más o menos. Lo explico con cierto detalle en GR. Documento de Einstein de 1911: Sobre la influencia de la gravitación en la propagación de la luz pero puede que te resulte un poco difícil. Así que simplemente diré que en la RG la velocidad de la luz es siempre localmente constante. Es decir, si mido la velocidad de la luz en mi ubicación siempre obtendré el resultado $c$ . Y si mide la velocidad de la luz en su ubicación también obtendrá el resultado $c$ . Pero, si yo mido la velocidad de la luz en tu ubicación, y viceversa, en general no obtendremos el resultado $c$ .

---

${}^1$ en realidad hay muchas soluciones cuando no hay materia o energía. Estas son las soluciones de vacío . La métrica de Minkowski es la solución con la menor Energía ADM .

Answer 2

La relatividad especial es el "caso especial" de la relatividad general, donde el espacio-tiempo es plano. La velocidad de la luz es esencial para ambas.

Answer 3

La mejor conexión entre las dos teorías se refiere a cómo tratan los diferentes observadores o marcos de referencia. La Relatividad Especial (RS) postula que todos los observadores inerciales son equivalentes, mientras que la Relatividad General (RG) supone que una clase más amplia de observadores son equivalentes. Más concretamente, todos los marcos no rotatorios son equivalentes. Por lo tanto, la RG es más general que la RS (también conocida como relatividad restringida) y, por lo tanto, no puede ser válida sin la RS. En otras palabras, como teorías, la RG implica a la RS, pero lo contrario no es cierto.

Answer 4

Me gusta pensar en la relatividad especial como primera orden o relatividad general "local".

Una de las cosas fundamentales que subyacen a toda la relatividad es el principio de equivalencia. Pero en cierto modo "desaparece" en la mecánica, los procedimientos y la teoría de la relatividad general. En realidad está codificado en la "elección de los materiales de construcción" de la RG. Es decir, pensamos en el espaciotiempo como un colector a diferencia de otros objetos matemáticos que podríamos postular (como un Variedad - este es un ejemplo algo tonto, porque es "casi" un colector, pero es sencillo y pretende mostrar que no es un hecho que debe elegir una variedad - hay una física real, medible en principio, que se ve afectada por la elección). Un colector es un objeto matemático que es localmente euclidiano en todas partes o, en el caso de la RG, de Minkowski. Si hacemos un "zoom" sobre el colector con un aumento suficiente, podemos hacer que el espaciotiempo se acerque tanto como queramos al espaciotiempo plano de Minkowski. Más formalmente, esto significa que siempre podemos definir un espacio tangente a cada punto. Aquí está la clave de esta respuesta:

Mientras no nos alejemos demasiado de este punto del espaciotiempo y nos mantengamos dentro de una pequeña vecindad (puede que tenga que ser muy pequeña en un espacio muy curvado, pero esto es una posibilidad teórica y nuestra ampliación puede ser cualquier valor finito), todos los cálculos relativistas se pueden hacer con la relatividad especial con el espacio tangente aproximando el espaciotiempo en la vecindad.

Los marcos inerciales en el punto en cuestión son los que están en movimiento momentáneo con los objetos y los marcos que experimentan un movimiento geodésico y sin par en el colector general relativista curvado, y todos ellos son equivalentes mediante una transformación de Lorentz, al igual que en la relatividad especial. La curvatura es una noción de segundo orden, no definible en términos del espacio tangente a un solo punto. La concepción original de Einstein del principio de equivalencia era que, en primer orden, no hay diferencia entre los resultados experimentales llevados a cabo dentro de un laboratorio acelerado respecto a estos marcos inerciales definidos por el espacio tangente. Si son acelerados por un cohete, o acelerados porque el laboratorio ha chocado y por tanto se ha pegado a la superficie de un planeta, no se puede saber a menos que se mire fuera del laboratorio.

Answer 5

El punto esencial y constitutivo de la teoría general de la relatividad es, como lo expresó Einstein en su documento sobre " Los fundamentos de la teoría general de la relatividad " (1916), que:

" Todas nuestras verificaciones espacio-temporales equivalen invariablemente a una determinación de coincidencias espacio-temporales {...} como encuentros de dos o más {...} puntos materiales. "

La conexión entre la teoría especial y la teoría general de la relatividad es, en consecuencia, que todas las nociones de la teoría especial que se relacionan con el espacio-tiempo (incluidas las relaciones geométricas y cinemáticas entre puntos materiales) se definen explícitamente en términos de (determinaciones de) la coincidencia espacio-temporal ;
a saber, ante todo las nociones que aparecen en el "postulados de la relatividad especial" (1905) :

• " sistemas de coordenadas en movimiento de traslación uniforme entre sí "
  (es decir, en la terminología moderna, sin coordenadas "marcos inerciales" ), y

• " velocidad " (junto con las nociones relacionadas de "velocidad", "distancia" y "duración").

¿Puede la relatividad general ser válida sin la relatividad especial?

En el sentido anterior, la RS es manifiestamente un caso especial de la RG.

Se trata de la relación entre la masa y el espacio-tiempo y la gravedad[ ]

Las definiciones de (cómo medir) la "masa" y todas las magnitudes dinámicas más o menos relacionadas (momento, energía, momento angular, cargas, intensidades de campo...) se basan en (y por tanto son posteriores a) las verificaciones geométricas y cinemáticas espacio-temporales.