¿Cuándo puedo decir que $\cup H_i$ es un grupo?

Question

Que $G$ ser un grupo y $\{H_i\}_{i\in I}$ una familia de subgrupos. Me gustaría encontrar una condición que implica que el $\cup_{i\in I} H_i$ es un subgrupo. Sé que no es cierto en general, necesito ayuda para encontrar esta condición.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Muchas gracias.

Answer 1

Generalmente hablando, es que es muy raro que una unión de un número finito de subgrupos es de nuevo un subgrupo. Como consecuencia de los diversos suficientes condiciones que uno puede formular de una unión de los subgrupos a ser un subgrupo general cantidad aburrido obviedades para el caso de un número finito de subgrupos. Ejemplos son: "hay un $H_i$ que contiene todos los demás" (de la unión será igual a $H_i$), o "cada elemento de a $G$ se encuentra en al menos uno de los subgrupos $H_i$" (la unión de todos los de $G$). El ejemplo de la toma de $(H_i)_{i\in I}$ la colección de todos los subgrupos cíclicos de $G$ (que va a trabajar, con la unión,$G$, o si no esta colección es finito) muestra que va a ser difícil de formular cualquier agradable necesaria condición para $\bigcup_iH_i$ a un subgrupo (tenga en cuenta que dejar fuera a uno de esos subgrupos cíclicos menudo destruir la propiedad de que la $\bigcup_iH_i$ es un subgrupo).

Si tu colección de subgrupos es infinito, entonces hay algunas interesantes condiciones suficientes que pueden ser formuladas. En particular, "para cada par de índices de $i_1,i_2\in I$ existe $j\in I$ tal que $H_{i_1}\subseteq H_j$ $H_{i_2}\subseteq H_j$" (en otras palabras, ordenar la colección de subgrupos por la inclusión, cada par tiene un límite superior) es suficiente para $\bigcup_iH_i$ a un subgrupo. De hecho, si $x,y\in\bigcup_iH_i$ entonces no existe$i_1,i_2\in I$$x\in H_{i_1}$$y\in H_{i_2}$, y con $j$ como en el requisito de que uno ha $xy\in H_j\subseteq\bigcup_iH_i$ (que la unión contiene la identidad y es cerrado bajo la recíproca no necesita ninguna condición en la $H_i$ a todos, con la excepción de$I\neq\emptyset$, lo que sin duda debe ser asumida). Tenga en cuenta que la condición es válida la condición suficiente también para finito de las familias de los subgrupos, pero es una aburrida, como en ese caso puede ser fácilmente demostrado que implica que entre los subgrupos hay uno que contenga todos ellos.

Tenga en cuenta también que un caso especial de esta condición es cuando el conjunto de subgrupos es totalmente ordenado por la inclusión (por cada par, uno de ellos contiene a la otra), en cuyo caso $j$ puede ser elegido entre los $\{i_1,i_2\}$; esto le da la condición suficiente ("$H_j<H_j$ o $H_j<H_i$") mencionado en otras respuestas.

Answer 2

La condición a imponer es que $H_i < H_j$ o $H_j < H_i$ % todos $i,j \in I$. Si esto es cierto, uno puede comprobar que la Unión de todos los $H_i$ es un subgrupo. Si $x,y \in \cup H_i$, entonces el $x \in H_i$ $i$ y $y \in H_j$ $j$. Desde $H_i < H_j$ o $H_j < H_i$, debe ser el caso que $x,y \in H_k$ uno de $k = i$ o $k = j$. $H_k$ Es un subgrupo, significa que el $xy^{-1} \in H_k \subset \cup H_i$ demostrando que $\cup H_i$ es un subgrupo.