La función $\displaystyle \frac{\sin(\pi x)}{x(1-x)}$ y $x \in (0, 1)$. ¿Cuál es la imagen de éste?
Yo pensando en encontrar el mínimo y el máximo de esta función. Pero no es fácil.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Su idea de encontrar los valores máximo y mínimo es correcta. Para encontrar los valores máximo y mínimo, se establece la derivada igual a $0$: $$0=\frac{d}{dx}\frac{\sin(\pi x)}{x(1-x)}=\frac{\pi x(1-x)\cos(\pi x)-(1-2x)\sin(\pi x)}{x^2(1-x)^2}$$ que se simplifica a $\pi x(1-x)\cos(\pi x)=(1-2x)\sin(\pi x)$. Por inspección, vemos que $\cos(\pi\frac{1}{2})=0$$(1-2\frac{1}{2})=0$, por lo que este tiene al $x=\frac{1}{2}$. Se puede mostrar que este es el único punto en el que estos son iguales? Si es así, usted consigue tres puntos críticos de la función: $0,\frac{1}{2},1$. Todos los puntos en la imagen se encuentran entre los valores de $\frac{\sin(\pi x)}{x(1-x)}$ se lleva en estos puntos, y la imagen será el conjunto de valores entre estos tres, menos las imágenes de $0$$1$.
EDIT: La función no está definida en $0,1$, pero el límite como se va a estos puntos es (use la regla de L'Hôpital para evaluar) y este debe ser utilizado en su lugar.
Oli
Puntos
89
La función es simétrica alrededor de $x=1/2$, ya que el $\sin z$ es simétrico con respecto al $z=\pi/2$, e $x(1-x)$ es simétrico con respecto al $x=1/2$. Mirando la derivada, se puede fácilmente demostrar que la función es creciente en $(0,1/2)$ y disminuyendo en $(1/2,1)$. El valor máximo es por lo tanto alcanzado en $x=1/2$. Allí, el valor es $4$.
Ahora usted necesita para encontrar el número que nuestros enfoques de la función en $x$ enfoques $0$ desde el derecho, o, equivalentemente, por la simetría como $x$ enfoques $1$ desde la izquierda. Para esto, podemos utilizar la Regla de L'Hospital de, y encontrar que este límite es $\pi$. O bien podemos utilizar el hecho de que, como $x$ enfoques $0$, $\dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ enfoques $1$, $1-x$ enfoques $1$, a la conclusión de que el límite es de $\pi$.
Llegamos a la conclusión de que como $x$ oscila en el intervalo de $(0,1)$, nuestra función oscila en el intervalo de $(\pi,4)$.
Comentario: es la suerte de que el intervalo se nos pregunta acerca de lo pequeño, dado que la búsqueda de una forma cerrada de la expresión para el mínimo absoluto es, probablemente, no sea posible. No es difícil ver que la función alcanza un absoluto máximo absoluto en $x=1/2$.
