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Comprobar si un conjunto es cerrado / abierto

Tengo el set $A = \{\frac{1}{n} + \frac{1}{k} \mid n,k \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathbb{R}$. Mi ejercicio me pide encontrar el cierre de este conjunto, pero mi pregunta en este post es simplemente pidiendo una aclaración sobre cómo abrir conjuntos de trabajo.

Un conjunto es cerrado si su cumplido está abierto. Un conjunto es abierto si cada punto tiene una vecindad acostado en el conjunto.

Quiero mostrar que la $A$ no está cerrado. Así que la búsqueda de un punto en $A - \mathbb{R}$ que tiene un...barrio (necesito una definición precisa de este) que se superpone a la vecindad de un punto en $A$. Esto demostraría que la complementan $A - \mathbb{R}$ es no abrir. A la derecha?

Definición de límite de $$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon >0 \; \exists \delta >0, \; |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| <\epsilon$$

Por esta definición, tenemos $\delta = \frac{1}{\epsilon}$, de modo que $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$

Más específicamente, tenemos $0 < |n| < \frac{1}{\epsilon}$ para que el límite para ser verdad.

Así que ahora sé $\frac{1}{n} + \frac{1}{k} \to 0$ $n,k \to \infty$ si $n,k \in (0, \frac{1}{\epsilon})$

  1. No he demostrado que $0$ es no en $A$ todavía. ¿Cómo puedo hacer eso?
  2. ¿Cuál es la definición de "barrio"? Como yo lo entiendo, es un épsilon-bola centrada en un punto con radio de $\epsilon$. Así que en este caso, $B_{\epsilon}(p) = \{x \in A \mid |x - p| < \epsilon\}$ desde $A \subseteq \mathbb{R}$.
  3. Un conjunto es abierto si todos los puntos en el set tiene un $\epsilon$-bola acostado completamente en el conjunto. Esto es correcto?

El epsilon de la bola sobre la $0$ es $B_{\epsilon}(0) = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 0| < \epsilon\}$

El intervalo para que nuestro límite anterior es cierto, está contenida dentro de esta bola. Lo que significa que el punto de $0 \in A \setminus \mathbb{R}$ tiene un barrio que se superpone en el conjunto $A$. Esto significa que el elogio no está abierto.

Después de 1,2,3 preguntas, es mi conclusión correcta?

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Andres Mejia Puntos 722
  1. Tenga en cuenta que $\frac{1}{n}+\frac{1}{k}>0$ todos los $n,k \in \mathbb N$, por tanto, por definición, $0 \notin A$.

  2. Su definición de un barrio es la correcta. Es un conjunto abierto que contiene en su punto, y en el euclidiana caso, sólo una pelota alrededor de su punto con algunos distinto de cero raadius

  3. Sí, estás en lo correcto.

Para responder a la pregunta general, han demostrado que la $0$ es un punto límite, pero no en $A$, lo $A$ no puede ser cerrado.

Ahora, para terminar, usted debe demostrar que no hay otros puntos en el cierre, o buscar cualquier mucho más.

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user254665 Puntos 4075

(Yo).Para cualquier secuencia $S=(s_n)_{n\in \mathbb N}$ de reales existe una estrictamente creciente $f:\mathbb N\to \mathbb N$ de tal manera que uno de los siguientes tiene para la secuencia de $F=(s_{f(n)})_{n\in \mathbb N}$ :

(yo). $F$ es constante. I. e. $s_{f(m)}=s_{f(n)}$ todos los $m,n$

O (ii). $F$ es estrictamente creciente

O (iii). $F$ es estrictamente decreciente.

En otras palabras $S$ tiene una sub-secuencia $F$ que es constante o es estrictamente monótona.

(II). Supongamos $y_n,z_n\in \mathbb N$ $x=\lim_{n\to \infty}(1/y_n+1/z_n).$ En otras palabras, $x\in \overline A.$ Nos muestran que $x=0$ o $x\in A$.

(a). Ninguna de las secuencias de $(1/y_n)_n$ o $(1/z_n)$ tiene una estrictamente creciente sub-secuencia $(1/y_{f(n)})_n$ o $(1/z_{f(n)})_n$ porque de lo contrario $(y_{f(n)})_n$ o $(z_{f(n)})_n$ sería estrictamente una disminución de la secuencia infinita de números naturales.

(b). Supongamos $(1/y_n)_n$ tiene una constante sub-secuencia $(1/y_{f(n})_n$ $y_{f(n)}=y\in \mathbb N$ todos los $n.$ $$x=\lim_{n\to \infty}(1/y_{f(n)}+1/z_{f(n)})=1/y+\lim_{n\to \infty}1/z_{f(n}.$$

Ahora si $\lim_{n\to \infty}1/z_{f(n)}=0$ $$x=1/y\in A.$$ Or if $\lim_{n\to \infty}1/z_{f(n)}=K\ne 0$ then $\lim_{n\to \infty}z_{f(n)}=K^{-1}.$ But a convergent sequence $(z_{f(n)})_n$ of natural numbers can only converge to a natural number, so $K^{-1}=z\in \mathbb N$ and $$x=1/y+1/z\in A.$$ (c). Suppose $(1/z_n)_n$ has a constant sub-sequence. Then by interchanging the letters $y,z$ in (b) above, we also obtain $$x\in A.$$(d). If neither $(1/y_n)_n$ nor $(1/z_n)_n$ has a constant sub-sequence then by (I) and by (II)(a) there is a strictly increasing $f:\mathbb N\to \mathbb N$ such that $(y_{f(n)})_n$ is strictly decreasing, and by (I) and by (II)(a) again, the sequence $(1/z_{f(n)})_n$ must have a strictly decreasing sub-sequence $(1/z_{g(f(n))})_n$ (with $g:\mathbb N\to \mathbb N$ estrictamente creciente).

A continuación, $(y_{g(f(n)})_n$ $(z_{g(f(n)})_n$ son estrictamente creciente secuencias de números naturales, por lo $$x=\lim_{n\to \infty}(1/y_{g(f(n))}+1/z_{g(f(n))})=0.$$

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