Tengo el set $A = \{\frac{1}{n} + \frac{1}{k} \mid n,k \in \mathbb{N}\} \subseteq \mathbb{R}$. Mi ejercicio me pide encontrar el cierre de este conjunto, pero mi pregunta en este post es simplemente pidiendo una aclaración sobre cómo abrir conjuntos de trabajo.
Un conjunto es cerrado si su cumplido está abierto. Un conjunto es abierto si cada punto tiene una vecindad acostado en el conjunto.
Quiero mostrar que la $A$ no está cerrado. Así que la búsqueda de un punto en $A - \mathbb{R}$ que tiene un...barrio (necesito una definición precisa de este) que se superpone a la vecindad de un punto en $A$. Esto demostraría que la complementan $A - \mathbb{R}$ es no abrir. A la derecha?
Definición de límite de $$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon >0 \; \exists \delta >0, \; |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| <\epsilon$$
Por esta definición, tenemos $\delta = \frac{1}{\epsilon}$, de modo que $$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$$
Más específicamente, tenemos $0 < |n| < \frac{1}{\epsilon}$ para que el límite para ser verdad.
Así que ahora sé $\frac{1}{n} + \frac{1}{k} \to 0$ $n,k \to \infty$ si $n,k \in (0, \frac{1}{\epsilon})$
- No he demostrado que $0$ es no en $A$ todavía. ¿Cómo puedo hacer eso?
- ¿Cuál es la definición de "barrio"? Como yo lo entiendo, es un épsilon-bola centrada en un punto con radio de $\epsilon$. Así que en este caso, $B_{\epsilon}(p) = \{x \in A \mid |x - p| < \epsilon\}$ desde $A \subseteq \mathbb{R}$.
- Un conjunto es abierto si todos los puntos en el set tiene un $\epsilon$-bola acostado completamente en el conjunto. Esto es correcto?
El epsilon de la bola sobre la $0$ es $B_{\epsilon}(0) = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 0| < \epsilon\}$
El intervalo para que nuestro límite anterior es cierto, está contenida dentro de esta bola. Lo que significa que el punto de $0 \in A \setminus \mathbb{R}$ tiene un barrio que se superpone en el conjunto $A$. Esto significa que el elogio no está abierto.
Después de 1,2,3 preguntas, es mi conclusión correcta?