Una pregunta sobre un conjunto abierto convexo en un espacio topológico vectorial.

Question

Supongamos que $E$ es un espacio vectorial topológico (puede no ser Hausdorff). $U \subset E$ es un conjunto abierto tal que $U+U=2U$ .

Cómo mostrar $U$ es convexo?

Puedo ver si $E$ es $T_1$ ，then $E$ debería ser Hausdorff. y cada segmento de línea en $U$ es compacto, luego cerrado. y más, entonces puedo mostrar que el segmento de línea está en $U$ .

¿Qué hay de $E$ no $T_1$ ?

Answer 1

Deje que $x,y \in U$ y $ \lambda_0\in (0,1)$ . Tenemos que mostrar que $ \lambda_0 x+(1- \lambda_0 )y \in U$ también.

Al principio observamos que $x+y \in U+U=2U$ y por lo tanto $ \frac {1}{2}(x+y) \in U$ . Del mismo modo $$ \frac {1}{4}x+ \frac {3}{4}y= \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{2}(x+y)+y \right ) \in U, $$ y en general se puede demostrar que $$ \frac {m}{2^n}x+ \left (1- \frac {m}{2^n} \right )y \in U, \quad\text {for all $ m, n \in\mathbb N $ and $ x,y \in U $.} \tag {$ \star $} $$ Pero como $ \lambda\mapsto \lambda x+(1- \lambda )y$ es continua desde $ \mathbb R \to X$ y como $U$ está abierto y $x \in U$ existe un $ \varepsilon >0$ de tal manera que $$ \{(1-t)x+ty: \lvert t \rvert < \varepsilon\ } \subset U. $$ Ahora mostraremos que $ \lambda_0 x+(1- \lambda_0 )y \in U$ . Escoge $ \mu , \nu\in\mathbb N$ para que $$ \frac { \mu }{2^ \nu } \in ( \lambda_0 , \lambda_0 + \varepsilon ). $$ Esto es posible, ya que este tipo de racionales son densos en $ \mathbb R$ .

Luego $$ \lambda_0 x+(1- \lambda_0 )y= \left ( \lambda_0 x+ \Big ( \frac { \mu }{2^ \nu }- \lambda_0\Big )y \right )+ \Big (1- \frac { \mu }{2^ \nu } \Big )y \\ = \frac { \mu }{2^ \nu } \left ( \frac {2^ \nu\lambda_0 }{ \mu } x+ \Big (1- \frac {2^ \nu\lambda_0 }{ \mu } \Big )y \right )+ \Big (1- \frac { \mu }{2^ \nu } \Big )y. $$ Pero $ \mu , \nu $ puede ser elegido para que $\,\, \big\lvert\frac {2^ \nu\lambda_0 }{ \mu }-1 \big\rvert < \varepsilon ,\,$ también, y por lo tanto $$ x_1= \frac {2^ \nu\lambda_0 }{ \mu } x+ \Big (1- \frac {2^ \nu\lambda_0 }{ \mu } \Big )y \in \{(1-t)x+ty: \lvert t \rvert < \varepsilon\ } \subset U, $$ y por lo tanto, también lo hace $$ \lambda_0 x+(1- \lambda_0 )y= \frac { \mu }{2^ \nu }x_1+ \left (1- \frac { \mu }{2^ \nu } \right )y $$ como en $( \star )$ .

Nota. El hecho de que $U$ no puede ser omitida, como se muestra en el siguiente ejemplo. Que $E= \mathbb R$ Entonces $ \mathbb Q+ \mathbb Q=2 \mathbb Q$ pero $ \mathbb Q$ no es un subconjunto convexo de $ \mathbb R$ .