¿Cuál es el mínimo valor posible de $(a+b+c)$?

Question

$a, b$ $c$ son números reales positivos satisfacción $ \frac 13 \le ab+bc+ca \le 1 $ y $abc \ge \frac 1{27}$ ¿cuál es el mínimo valor posible de $(a+b+c)$?

Aplicación de AM $\ge$ GM da $(a+b+c) \ge 1$ y si aplicamos AM $\ge$ HM $(a+b+c) \ge\frac 13$ dan pero al parecer $1$ es la respuesta, mi pregunta es ¿por qué nosotros no tomamos el segundo de ellos como mínimo, (desde $ \frac13 \lt 1) $?

Answer 1

Como observaron, AM-GM dice que, $a+b+c\ge 1$.

Además, AM-GM dice que la igualdad se alcanza precisamente cuando $abc=1/27$ y $a=b=c=1/3$.

El % de las desigualdades $1/3 \le ab+bc+ca\le 1$están, por suerte, satisfechos por esta opción de $a,b,c$. Por lo tanto el valor mínimo posible de $a+b+c$ es $1$.

Answer 2

Ver Jasper Loy comentario para la respuesta directa a su pregunta.

Para ver por qué el valor mínimo es 1, el uso de su desigualdad: $$ a+b+c\ge 1. $$

La desigualdad no digo que el valor mínimo es 1; para todo lo que sabemos en este momento $a+b+c$ siempre puede ser mayor que 2; la desigualdad anterior va a ser verdad.

Una manera de mostrar que el valor mínimo de $a+b+c$ es 1 es encontrar valores explícitos de $a$, $b$, y $c$ $a+b+c=1$ que satisfagan los requisitos establecidos en el problema.

$a=b=c={1\over3}$ que hace el trabajo.

Answer 3

Respuesta es 1

sólo ampliar $(a+b+c)^2$

y la desigualdad de AM-GM $a^2+b^2+c^2$

así $a^2+b^2+c^2$ tiene un valor mínimo de $2(abc)^{3/2}$ $1/3$

y un valor mínimo de $2(ab+bc+ca)$ $2*1/3=2/3$

Agregar tanto conseguirá 1, que es el valor mínimo de $(a+b+c)^2$ y $(a+b+c)$