Cubriendo espacios de $\mathbb{RP}^n\times\mathbb{RP}^n$ para $n > 1$ .

Question

El grupo fundamental de $X = \mathbb{RP}^n\times\mathbb{RP}^n$ es sólo $G=\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ cuando $n > 1$ . Así que las cubiertas conectadas de $X$ corresponden a subgrupos de $G$ . Esto ha $5$ subgrupos: el subgrupo trivial, $G$ y $3$ subgrupos generados por los elementos $a$ , $b$ y $ab$ .

Cuál es el espacio de cobertura asociado al subgrupo generado por $ab$ ?

Answer 1

Piensa en la acción diagonal de $\mathbb{Z}^2$ en $\mathbb{S}^n \times \mathbb{S}^n$ (es decir, actuando por mapa antipodal en ambos factores).