Volumen del elipsoide tridimensional de $n$

Question

Deje $c_1,c_2,...,c_n$ ser constantes positivas. Considere la posibilidad de la $n$ dimensiones del elipsoide dado por $\{(x_1,...,x_n)|\sum_{k=1}^n\frac{x_k^2}{c_k^2}<1\}$. Demostrar que es $n$ dimensiones de volumen es $\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2+1)}\prod_{k=1}^nc_k$

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Estoy de saber http://en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball que el volumen de la $n$ bola es exactamente la fórmula anterior con $c_1=c_2=...=c_n=r$, lo que confirma la fórmula en este caso especial. Parece que podemos discutir por la escala en cada una de las coordenadas, sino cómo hacer que este riguroso?

Answer 1

Esto sale de sustitución $\frac {x_i}{c_i}=y_i$ y con el volumen de una pelota de dimensiones $n$ $n$ espacio plus el jacobiano de transformación de volúmenes.

Answer 2

Usted sabe la fórmula para una pelota. Tenga en cuenta que el elipsoide es sólo la pelota que se ajustan a una transformación lineal. Esta transformación lineal es diagonal con elementos $c_1,c_2,\dots, c_n$. Es un estándar de hecho (demostrado en Folland del Análisis Real, por ejemplo), que si $V$ es Lebesgue medible conjunto y $L$ es una transformación lineal, entonces la medida de $L(V)$$m(V)\cdot \det(L)$. Es fácil ver que el determinante de la transformación lineal de interés es $\prod_1^n c_i$, y esto da el resultado deseado.

Answer 3

1) confirmar el resultado en 2-D caso

2) Suponga que la fórmula se cumple para n-D, a continuación, calcular el volumne en (n+1)-D utilizando las técnicas de la prueba de parte de su wiki enlace, a excepción de un pequeño truco.

Supongamos que el elipsoide en (n+1)-D tiene el eje $c_1,c_2,...c_{n+1}$. Luego por la n-D elipsoide con $x_{n+1}=a$ es $$ \left(x_1,x_2,...x_n|\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{c_i^2}<1-\frac{a^2}{c_{n+1}^2} \right) $$ el mismo que $$ \left(x_1,x_2,...x_n|\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{d_i^2}<1 \right) $$ donde $d_i=c_i\sqrt{1-a^2/c_{n+1}^2}$

3) por Lo que tiene de dimensión arbitraria