Pregunta de determinantes con factoriales

Question

$$A= \begin{pmatrix} n! & (n+1)! & (n+2)!\\ (n+1)! & (n+2)! & (n+3)! \\ (n+2)! & (n+3)! & (n+4)! \end{pmatrix}$$

Y $D=\det(A)$ , Tenemos que demostrar que $D/(n!)^3 - 4$ es divisible por $n$ .

Lo hice simplificando el determinante mediante algunas operaciones de fila y columna y finalmente acabé obteniendo un polinomio cúbico en $n$ . Luego he restado 4 al polinomio y he obtenido el resultado.

¿Hay alguna otra forma de probar el resultado más rápido y de mejor manera?

Answer 1

$$\begin{align} D&=\det\begin{bmatrix} n!&(n+1)!&(n+2)!\\ (n+1)!&(n+2)!&(n+3)!\\ (n+2)!&(n+3)!&(n+4)! \end{bmatrix}\\ &=n!(n+1)!(n+2)! \det\small\begin{bmatrix} 1&1&1\\ n+1&n+2&n+3\\ (n+1)(n+2)&(n+2)(n+3)&(n+3)(n+4)\\ \end{bmatrix}\tag{1}\\ &=n!(n+1)!(n+2)! \det\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&2\\ 0&2n+4&4n+10\\ \end{bmatrix}\tag{2}\\ &=n!(n+1)!(n+2)! \det\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 0&1&2\\ 0&0&2\\ \end{bmatrix}\tag{3}\\[12pt] &=2n!(n+1)!(n+2)!\tag{4} \end{align}$$ Explicación:
$(1)$ : dividir las columnas por $n!$ , $(n+1)!$ , $(n+2)!$ respectivamente
$(2)$ : restar $n+1$ fila de tiempos $1$ de la fila $2$
$\phantom{\text{(2):}}$ restar $(n+1)(n+2)$ fila de tiempos $1$ de la fila $3$
$(3)$ : restar $2n+4$ fila de tiempos $2$ de la fila $3$
$(4)$ : evalúa el determinante

Por lo tanto, $$\begin{align} \frac{D}{n!^3}-4 &=2(n+1)^2(n+2)-4\\[6pt] &=n\left(2n^2+8n+10\right)\tag{5} \end{align}$$

Answer 2

Siguiendo la respuesta de Hypergeometric, tenemos una expresión exacta para $D/(n!)^3$ . Todo lo que queda es mostrar $D/(n!)^3 \equiv 4 \pmod{n}$ . Como sólo queremos el determinante de $B$ mod $n$ podemos reducir las entradas de la matriz mod $n$ :

$$\begin{bmatrix} 1&1&2\\ 1&2&6\\ 2&6&24 \end{bmatrix},$$

y un cálculo rutinario da un determinante $4$ .

Answer 3

Factorizar la matriz podría ayudar un poco.

$$A= \begin{pmatrix} n! & (n+1)! & (n+2)!\\ (n+1)! & (n+2)! & (n+3)! \\ (n+2)! & (n+3)! & (n+4)! \end{pmatrix}=n!\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & (n+1) &(n+1)^{\overline{2}}\\ (n+1) & (n+1)^{\overline{2}} & (n+1)^{\overline{3}} \\ \;\;(n+1)^{\overline{2}} & (n+1)^{\overline{3}} & (n+1)^{\overline{4}} \end{pmatrix}}_B$$ utilizando el Notación Pochhammer para un factorial ascendente.

$D/(n!)^3$ es entonces sólo el determinante de $B$ .