$|3^a-2^b|\neq p$, a partir de un concurso

Question

Recientemente me encontré con un antiguo concurso problema: (no he podido encontrar la solución en cualquier lugar)

Encontrar al menos el primer número que no puede ser escrita en la forma $|3^a-2^b|$ donde $a$ $b$ son números enteros no negativos.

Al principio pensé que la respuesta era la número$2$, pero los "números enteros no negativos" nos permite llevar a $a=1$$b=0$.
También tenemos:
$3=2^2-3^0$
$5=3^2-2^2$
$7=2^3-3^0$
$11=3^3-2^4$
$13=2^4-3^1$
$17=3^4-2^6$
y así sucesivamente...
¿Alguien puede ayudarme con esto?
Gracias de antemano

P. S. estoy familiarizado con Pillai del teorema de http://mathworld.wolfram.com/PillaisTheorem.html
pero me gustaría ver si es posible una solución mucho más simple, debido a que era un concurso problema.

Answer 1

Uno fácilmente encuentra representaciones para todos los números primos $<41$.

Suponga $41=|3^a-2^b|$$2^b\pm 41=3^a$.

Al no encontrar a los poderes de los tres entre los números de $2^b\pm41$$b\le 2$, llegamos a la conclusión de $b\ge 3$. A continuación,$3^a\equiv \pm41\pmod{8}$, lo que equivale a $a\equiv 0\pmod 2$. Especialmente $3^a\equiv1\pmod {8}$ y, por tanto,$41=3^a-2^b$.

Del mismo modo, podemos comprobar y excluir a los pequeños valores de $a$, por lo tanto saber que $2^b\equiv -41\pmod{3}$, lo que equivale a $b\equiv 0\pmod 2$.

Pero, a continuación, $a$ $b$ son ambos inclusive y obtener una factorización $41=(3^{a/2}-2^{b/2})(3^{a/2}+2^{b/2})$ y la conclusión de $3^{a/2}+2^{b/2}=41$, $3^{a/2}-2^{b/2}=1$, es decir,$3^{a/2}=\frac{41+1}2$, lo cual es absurdo.