Módulo del producto infinito de funciones complejas

Question

Sabemos que para las funciones complejas (enteras) $f,g$ tenemos $|f(z)g(z)|=|f(z)||g(z)|$ , donde $|.|$ significa módulo complejo.

¿Y si tenemos un producto infinito? ¿Es cierto que $$\bigg| \prod_{k=1}^{\infty} f_{k}(z)\bigg|= \prod_{k=1}^{\infty} |f_{k}(z)| $$ donde $\{f_{k}\}$ es cualquier conjunto de funciones enteras.

Answer 1

La fórmula es incorrecta en general porque el lado derecho puede estar definido mientras que el lado izquierdo no lo está.

Por ejemplo, si $f_n(z)=(-1)^n$ entonces $\Pi f_n(z)$ no está definida, por lo que $|\Pi f_n(z)|$ tampoco lo es; pero obviamente $\Pi |f_n(z)|$ se define y su valor es $1$ .

Pero en circunstancias propicias no puedo excluir que se pueda salvar algo...

Advertencia
A diferencia de lo que ocurre con las series, no existe una noción ingenua de convergencia absoluta para los productos infinitos de los números complejos: si no, el ejemplo anterior muestra que se tendría la desastrosa terminología de que algunos productos absolutamente convergentes son divergentes.
El mejor sustituto es que la convergencia de $\Pi (1+|a_n|) $ implica la convergencia de $\Pi (1+a_n) $ .
Tenga en cuenta que el tratamiento de los productos infinitos en algunos libros no es del todo satisfactorio. Si quiere ir por el camino seguro, no puedo recomendar lo suficiente Remmert's Temas clásicos de la teoría de las funciones complejas donde el tema se trata justo al principio del libro.