¿donde están mis cálculos equivocados? Valor esperado

Question

Tengo un pdf $f(x) = |x-1|$ $0 \leq x \leq 2,$ 0 en caso contrario, y pide que encuentre el valor esperado de $X^{2} + X.$ I simplemente integrados $(x^{2} + x)|x-1|$ de 0 a 2, marcada con mathematica, y consiguió $\frac{5}{2}.$ La respuesta en la parte de atrás del libro, sin embargo, es $\frac{13}6.$ ¿Qué estoy haciendo mal?

Gracias.

Answer 1

Resuelto en los comentarios.

El libro de texto de respuesta es incorrecta. La respuesta correcta es lo que el OP tiene.

$$ \begin{align*} \mathbf E [X^2 + X] &= \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) (x^2+x) ~dx \\ &= \int_{0}^{2} |x-1| (x^2+x) ~dx \\ &= \int_{0}^{1} (1-x) (x^2+x) ~dx + \int_{1}^{2} (x-1) (x^2+x) ~dx \\ &= \int_{0}^{1} (x-x^3) ~dx + \int_{1}^{2} (x^3-x) ~dx \\ &= \left. \Big(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4} \Big)\right|_{0}^1 + \left. \Big(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \Big) \right|_{1}^2 \\ &= \Big( \frac{1}{2}-\frac{1}{4} \Big) + \Big(\frac{2^4}{4}-\frac{2^2}{2} \Big) - \Big( \frac{1}{4}-\frac{1}{2} \Big) \\ &= \frac52 . \end{align*} $$