La prueba de que existe una biyección si hay mapas inyectivo en ambas direcciones

Question

Que $A$ $B$ ser dos conjuntos.

Que $f:A\to B$ ser inyectiva que $Im(f) \subsetneq B$.

Que $g:B\to A$ ser inyectiva que $Im(g) \subsetneq A$.

Obviamente $A$ y $B$ no son conjuntos finitos. ¿Podemos garantizar una existencia de una biyección entre $A$y $B$?

Answer 1

Sí. De hecho, uno puede demostrar si existe una función inyectiva de $A$ $B$ y una función inyectiva de $B$ $A$, entonces existe una biyección de $A$ $B$. Esto se conoce como el Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder. (De la nota es que su prueba depende el axioma de elección).