¿Por qué $\frac{X}{X + Y} \sim\mathrm{ Beta}(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})$?

Question

Si las variables aleatorias $X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{n}{2}, \frac{1}{2})$ y $Y \sim \mathrm{Gamma}(\frac{m}{2}, \frac{1}{2})$, donde $m$ y $n$ son constantes, ¿por qué $\frac{X}{X + Y} \sim \mathrm{Beta}(\frac{n}{2}, \frac{m}{2})$?

En general, ¿podemos simplemente combinar variables distribuidas Gamma de esta manera en unas distribuidas Beta?

Answer 1

David. La igualdad en la ley que mencionas es un caso especial de lo siguiente

Lema. Si $X \sim \Gamma(\alpha,\lambda)$ y $Y \sim \Gamma(\beta,\lambda)$ son independientes, entonces $Z = \frac{X}{X+Y}\sim B(\alpha,\beta)$ y es independiente de $X+Y \sim \Gamma(\alpha+\beta,\lambda)$.

Esto se puede demostrar calculando la ley de la pareja $(Z,X+Y)$ usando un cambio de variables.

Una buena aplicación : si $X \sim B(\alpha,\beta)$ y $Y \sim \Gamma(\alpha+\beta,\lambda)$ son independientes, entonces $XY \sim \Gamma(\alpha,\lambda)