norma de $L^1$ de la transformada de Fourier de una gaussiana truncada

Question

Considerar el % de Gaussianos $G(x):=e^{-x^2}$en la línea verdadera y localizar a la región $|x|\sim 2^k$ multiplicando por un corte suave apropiado. Más precisamente, tomar $\phi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ apoyado en la región $\left \{x\in\mathbb{R}: \frac{1}{2}<|x|\leq2 \right\}$ tal que $0\leq\phi\leq 1,$ y $$G_k(x):=\phi(2^{-k}x)G(x).$ $ es sencillo comprobar que $\|G_k\|_{L^1}\lesssim 2^ke^{-4^k}$. Mi pregunta es: ¿Qué puede decirse de $\|\widehat{G_k}\|_{L^1}$? ¿En particular, qué decadencia (si existe) se obtiene en términos de $k$?

Gracias.

Answer 1

Comentario convertido a responder según lo sugerido por Jonas Teuwen:

Sugerencia: Si escribimos $\phi_k(x) = \phi(2^{-k} x)$, a continuación, tenga en cuenta que $$ \widehat{G_k}(x) = \widehat{\phi_k}(x) \ast \widehat G(x). $$ La aplicación de Jóvenes de la desigualdad de las circunvoluciones da $$ \| \widehat{G_k}\|_{1} \leq \| \widehat{\phi_k} \|_1 \| \widehat{G} \|_1 \lesssim \| \widehat{\phi_k} \|_1. $$ Tenga en cuenta que $\| \widehat{G} \|_1 \lesssim 1$ desde $G$ es un Schwarz, función y, por tanto, $\widehat{G}$ es demasiado. Queda por encontrar un buen obligado para $\| \widehat{\phi_k} \|_1$, lo que dejo a usted.