Suma de los factoriales.

Question

Cómo hago para sumar a esto:

$$\sum_{r=1}^{n}r\cdot (r+1)!$$

Sé cómo resumir $r\cdot r!$ pero no soy capaz de hacer algo parecido con esto.

Answer 1

Haciendo uso de:

$$r.\left(r+1\right)!=\left(r+2-2\right).\left(r+1\right)!=\left(r+2\right)!-2.\left(r+1\right)!$$

escribimos la suma como:

$$\left[\left(n+2\right)!-2.\left(n+1\right)!\right]+\left[\left(n+1\right)!-2.n!\right]+\cdots+\left[4!-2.3!\right]+\left[3!-2.2!\right]$$

importantes para:

$$\sum_{r=1}^{n}r.\left(r+1\right)!=\left(n+2\right)!-2-\sum_{r=1}^{n}\left(r+1\right)!$$

Así que encontrar una expresión para en esencia es lo mismo que encontrar una expresión para: $$\sum_{r=1}^{n}r!$ $

Para ello echa un vistazo aquí.