Hay una razón más profunda por estos puntos especiales de una forma de la función de una progresión geométrica?

Question

Si consideramos que la función $f(x) = \ln^2(x) - \ln(x)$$(0, +\infty)$, podemos señalar los siguientes:

• $f(x) = 0$ a los dos puntos a y C de abscissas $x_A = 1$ $x_C = e$ (las raíces de la función).
• $f'(x) = 0$ en el punto B del eje de abscisas $x_B = e^{1/2}$ (el mínimo global de la función)
• $f''(x) = 0$ (y los cambios de signos) a D de abscisa $x_D = e^{3/2}$ (el punto de inflexión de la función).

Estos cuatro notables puntos a, B, C y D en la curva que forma una progresión geométrica de razón común $r = e^{1/2}$ y el primer término de $u_0 = 1$. Hacer los siguientes términos llevar alguna importancia en la función? Hay una específica, "más profundo" razón detrás de esto? Se trata simplemente de una casualidad, o es este comportamiento exhibido en una clase general de las funciones? He notado también que la función similar a $g(x) = \ln^2(x) + \ln(x)$ tiene un patrón similar (los puntos de intersección, mínimo y punto de inflexión en la forma de una progresión geométrica con relación $r$ y el primer término de $v_0 = e^{-1/2}$), que es lo que me llevó a sospechar que este podría ser un tema común entre una clase de funciones.

Answer 1

Primero intenta encontrar una fórmula para el n-ésima derivada de $f(x)$: $$f'(x)=\frac{1}{x}(2\ln x-1)$$ $$f''(x)=-\frac{1}{x^2}(2\ln x-3)$$ $$f'''(x)=\frac{2}{x^3}(2\ln x-4)$$ $$f''''(x)=-\frac{6}{x^4}\big(2\ln x-\frac{14}{3}\big)$$ La derivada en cada paso se dará por $$f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\big(2\ln x-a_n\big)$$ Y podemos intentar definir $a_n$ de forma recursiva. Supongamos que tenemos $$f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}\big(2\ln x-a_n\big)$$ y tomamos la derivada de nuevo. Tenemos $$f^{(n+1)}(x)=(-1)^{n}\frac{n!}{x^{n+1}}\big(2\ln x-a_n-\frac{2}{n}\big)$$ Así tenemos $$a_1=1$$ $$a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n}$$ Y si dejamos $H_k$ representan el k-ésimo número armónico, entonces $$a_n=2H_{n-1}+1$$ y por lo que el cero de $f^{(n)}(x)$ se produce en $$2\ln x-2H_{n-1}-1=0$$ $$2\ln x=2H_{n-1}+1$$ $$\ln x=H_{n-1}+\frac{1}{2}$$ $$x=e^{H_{n-1}+\frac{1}{2}}$$ Ese es el patrón que usted estaba buscando.