Integrales especiales

Question

Existen integrales especiales como la integral logarítmica y las integrales exponenciales. Quiero saber si existen primitivas para dichas integrales. Si no es así, ¿por qué no?

Answer 1

Un punto de partida sencillo (como indica Qiaochu) es Teorema (o "principio") de Liouville basado en álgebra diferencial y se amplió con el Algoritmo Risch .

Este último enlace debería aclarar algunas de las ideas utilizadas :

1. el único término nuevo que aparece durante una integración (es decir, que no estaba en el integrando) es una combinación lineal de logaritmos (porque los logaritmos solos pueden desaparecer durante la diferenciación...)
2. exponenciales $e^f$ tenían que estar primero en el integrando (ya que la diferenciación no los hace desaparecer) y reaparecerán como $h\,e^f$ (por supuesto existen puntos sutiles como considerar $\sqrt{x}=e^{\,\large{\ln(x)/2}}\cdots$ )
3. diferenciación de un función algebraica $\theta$ (es decir, existe un polinomio $P(\theta)=0$ ) dará un función racional $\dfrac {d(\theta)}{e(\theta)}$ con $\,d$ y $e\,$ dos polinomios.

Estas 3 ideas proporcionarán extensiones logarítmicas, exponenciales y algebraicas al álgebra diferencial (comenzando por ejemplo con el campo de funciones racionales sobre $\mathbb{Q}$ ) que dará todos los funciones elementales .

Un excelente tutorial sobre este tema es "Integración Simbólica" de Manuel Bronstein.

El libro de Geddes, Czapor y Labahn "Algoritmos para álgebra computacional" también está muy claro.

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Ahora vamos a utilizar estas ideas para estudiar $\;\displaystyle\int\frac {e^x}x\,dx$ .

A partir de una versión más precisa de $2.$ una primitiva debe ser de tipo $\ I(x)=h(x)\,e^x\;$ con $h(x)$ una función racional. Supongamos esto y diferenciemos $\,I(x)$ : $$(h'(x)+h(x))\,e^x=\frac {e^x}x$$ por lo que necesitamos : $$h'(x)+h(x)=\frac 1x$$ Suponíamos que $h$ racional para que pueda descomponerse en elementos simples pero $h'(x)$ no puede dar $\dfrac 1x$ para que $\dfrac 1x$ debe formar parte de $h(x)$ . En este caso $h'(x)$ creará un término $-\dfrac 1{x^2}$ que debe compensarse con un $\dfrac 1{x^2}$ término interior $h(x)$ que generará un $-\dfrac 2{x^3}$ término... ¡Este proceso claramente no termina !

El mismo método podría utilizarse para la integral del seno : $\;\displaystyle\int \frac {\sin(x)}x\,dx\,$ simplemente escribiendo $\ \sin(x)=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ .
(esta método fue presentado por Matthew P Wiener en un correo antiguo en sci.math : ¡lectura recomendada también!)

Respecto a la integral logarítmica tenemos $\ \operatorname{li}(x)=\operatorname{Ei}(\ln(x))\ $ de modo que la prueba no elemental para uno debería aplicarse también para el otro.